Номер 11.7, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.7. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, для которого $AB = 3, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите расстояние от точки:
а) B; б) $A_1$; в) $C_1$ до плоскости $ACD_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 3$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Расстояние от точек B, A₁, C₁ до плоскости $ACD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A(0, 0, 0). Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD и ось Oz вдоль ребра AA₁.

В этой системе координат вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:

A(0, 0, 0)

B(3, 0, 0)

C(3, 2, 0)

D(0, 2, 0)

A₁(0, 0, 1)

D₁(0, 2, 1)

C₁(3, 2, 1)

Найдем уравнение плоскости $ACD_1$, проходящей через три точки: A(0, 0, 0), C(3, 2, 0) и D₁(0, 2, 1).

Общее уравнение плоскости имеет вид $ax + by + cz + d = 0$.

Так как плоскость проходит через начало координат A(0, 0, 0), то $d=0$. Уравнение принимает вид $ax + by + cz = 0$.

Подставим координаты точек C и D₁ в уравнение плоскости:

Для точки C(3, 2, 0): $a(3) + b(2) + c(0) = 0 \Rightarrow 3a + 2b = 0$.

Для точки D₁(0, 2, 1): $a(0) + b(2) + c(1) = 0 \Rightarrow 2b + c = 0$.

Из первого уравнения выразим $b$: $b = -\frac{3}{2}a$.

Из второго уравнения выразим $c$: $c = -2b$. Подставим выражение для $b$: $c = -2(-\frac{3}{2}a) = 3a$.

Для упрощения коэффициентов выберем $a=2$, тогда $b=-3$ и $c=6$.

Таким образом, уравнение плоскости $ACD_1$ имеет вид: $2x - 3y + 6z = 0$.

Расстояние $h$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$ вычисляется по формуле:

$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Для нашей плоскости знаменатель будет равен: $\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

а) B

Найдем расстояние от точки B(3, 0, 0) до плоскости $2x - 3y + 6z = 0$.

$h_B = \frac{|2 \cdot 3 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{|6 - 0 + 0|}{7} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$

б) A₁

Найдем расстояние от точки A₁(0, 0, 1) до плоскости $2x - 3y + 6z = 0$.

$h_{A_1} = \frac{|2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{|0 - 0 + 6|}{7} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$

в) C₁

Найдем расстояние от точки C₁(3, 2, 1) до плоскости $2x - 3y + 6z = 0$.

$h_{C_1} = \frac{|2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 6 \cdot 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{|6 - 6 + 6|}{7} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$