Вопросы, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

2. Как можно вычислить расстояние от точки с заданными координатами до плоскости, заданной уравнением?

Что называется расстоянием от точки до плоскости?

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то расстояние от нее до плоскости считается равным нулю.

Пусть дана точка $M$ и плоскость $\alpha$. Проведем через точку $M$ прямую, перпендикулярную плоскости $\alpha$. Точку пересечения этой прямой с плоскостью $\alpha$ назовем $H$. Точка $H$ называется ортогональной проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $MH$ и есть искомое расстояние.

Ответ: Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.

2. Как можно вычислить расстояние от точки с заданными координатами до плоскости, заданной уравнением?

Если в трехмерном пространстве задана точка $M$ с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ и плоскость $\alpha$ своим общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то расстояние $d$ от точки $M$ до плоскости $\alpha$ можно вычислить по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

где:

• $x_0, y_0, z_0$ — координаты точки.

• $A, B, C, D$ — коэффициенты из уравнения плоскости.

• $|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|$ — модуль значения, которое получается при подстановке координат точки в левую часть общего уравнения плоскости.

• $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ — длина нормального вектора $\vec{n} = (A, B, C)$ плоскости.

Таким образом, для вычисления расстояния нужно подставить координаты точки в уравнение плоскости, взять полученное значение по модулю и разделить на длину нормального вектора плоскости.

Ответ: Расстояние от точки с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.