Номер 11.4, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.4. B

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ стороны основания равны 2 см, высота равна 1 см. Найдите расстояние от центра $O$ основания этой пирамиды до плоскости $SBC$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Сторона основания $a = 2$ см

Высота пирамиды $H = SO = 1$ см

O - центр основания ABCD

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$H = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки O до плоскости SBC, обозначаемое $d(O, (SBC))$

Решение:

Расстояние от точки до плоскости определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. В нашем случае требуется найти длину перпендикуляра из центра основания O на плоскость боковой грани SBC.

1. Проведем в плоскости боковой грани SBC апофему $SM$, где M - середина ребра BC. В правильной пирамиде апофема является высотой боковой грани, следовательно, $SM \perp BC$.

2. В основании пирамиды, которое является квадратом ABCD, точка O - центр квадрата. Проведем отрезок OM. Так как M - середина BC, то OM - это перпендикуляр от центра квадрата к его стороне. Длина OM равна половине стороны квадрата:

$OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

3. Рассмотрим треугольник SOM. SO - высота пирамиды, поэтому она перпендикулярна всей плоскости основания ABC, а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая OM. Таким образом, $SO \perp OM$, и треугольник SOM является прямоугольным с прямым углом $\angle SOM$.

4. Нам известны длины катетов этого треугольника: высота $SO = H = 1$ см (по условию) и $OM = 1$ см (как было вычислено). Мы можем найти длину гипотенузы SM (апофемы пирамиды) с помощью теоремы Пифагора:

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ см.

5. Искомое расстояние от точки O до плоскости SBC — это высота прямоугольного треугольника SOM, опущенная из вершины прямого угла O на гипотенузу SM. Обозначим эту высоту как OH, где $H \in SM$. Это следует из того, что плоскость SOM перпендикулярна плоскости SBC (так как плоскость SOM проходит через прямую SO, перпендикулярную плоскости SBC). Перпендикуляр из O к плоскости SBC должен лежать в плоскости SOM и быть перпендикулярным линии их пересечения SM.

6. Для нахождения длины высоты OH в прямоугольном треугольнике SOM воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$S_{\triangle SOM} = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OM$

$S_{\triangle SOM} = \frac{1}{2} \cdot SM \cdot OH$

Приравняв эти два выражения, получаем:

$SO \cdot OM = SM \cdot OH$

Отсюда выражаем искомую высоту OH:

$OH = \frac{SO \cdot OM}{SM}$

7. Подставляем известные числовые значения в формулу:

$OH = \frac{1 \text{ см} \cdot 1 \text{ см}}{\sqrt{2} \text{ см}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ см.

8. Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$OH = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: расстояние от центра O основания этой пирамиды до плоскости SBC равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.