Номер 11.11, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.11. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 2 см, а высота равна 4 см (рис. 11.7). Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$.

Рис. 11.7

Дано:

$SABCDEF$ - правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания $a = 2 \text{ см}$
Высота пирамиды $SO = H = 4 \text{ см}$

$a = 0.02 \text{ м}$
$H = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$, обозначаемое как $d(A, (SBC))$.

Решение:

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$. Так как прямая $BC$ целиком лежит в плоскости $SBC$, то прямая $AD$, на которой находится точка $A$, параллельна плоскости $SBC$.
Следовательно, расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$ равно расстоянию от любой другой точки на прямой $AD$ до этой же плоскости. Для удобства вычислений выберем центр основания $O$, который является серединой диагонали $AD$. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от точки $O$ до плоскости $SBC$.
$d(A, (SBC)) = d(O, (SBC))$.

Для нахождения расстояния от точки $O$ до плоскости $SBC$ построим перпендикуляр из точки $O$ на эту плоскость.
Проведем в плоскости основания отрезок $OM$ к середине стороны $BC$. $OM$ является апофемой основания, и так как шестиугольник правильный, $OM \perp BC$.
Высота пирамиды $SO$ по определению перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $SO \perp BC$.
Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($OM$ и $SO$) в плоскости $SOM$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $SOM$.
Теперь в плоскости $SOM$ проведем высоту $OH$ к стороне $SM$. Так как отрезок $OH$ лежит в плоскости $SOM$, то он перпендикулярен прямой $BC$ ($OH \perp BC$).
Таким образом, отрезок $OH$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым в плоскости $SBC$: $OH \perp SM$ (по построению) и $OH \perp BC$. Следовательно, $OH$ является перпендикуляром к плоскости $SBC$, и его длина есть искомое расстояние.

Найдем длину $OH$ из прямоугольного треугольника $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$).
Один из катетов, $SO$, является высотой пирамиды: $SO = H = 0.04 \text{ м}$.
Другой катет, $OM$, является апофемой основания. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне ($OB=a=0.02 \text{ м}$), поэтому треугольник $OBC$ является равносторонним. Апофема $OM$ является его высотой.
$OM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{0.02\sqrt{3}}{2} = 0.01\sqrt{3} \text{ м}$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $SM$, которая является апофемой боковой грани $SBC$:
$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{(0.04)^2 + (0.01\sqrt{3})^2} = \sqrt{0.0016 + 0.0001 \cdot 3} = \sqrt{0.0016 + 0.0003} = \sqrt{0.0019} \text{ м}$.

Высоту $OH$ прямоугольного треугольника $SOM$, проведенную к гипотенузе, можно найти, используя метод площадей:
$S_{\triangle SOM} = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OM = \frac{1}{2} \cdot SM \cdot OH$
$OH = \frac{SO \cdot OM}{SM} = \frac{0.04 \cdot 0.01\sqrt{3}}{\sqrt{0.0019}} = \frac{0.0004\sqrt{3}}{\sqrt{19 \cdot 10^{-4}}} = \frac{0.0004\sqrt{3}}{10^{-2}\sqrt{19}} = \frac{0.04\sqrt{3}}{\sqrt{19}} \text{ м}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{19}$:
$OH = \frac{0.04\sqrt{3} \cdot \sqrt{19}}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{19}} = \frac{0.04\sqrt{57}}{19} \text{ м}$.

Таким образом, искомое расстояние $d(A, (SBC))$ равно $OH$. Для соответствия с единицами из условия задачи, переведем ответ в сантиметры:
$\frac{0.04\sqrt{57}}{19} \text{ м} = \frac{4\sqrt{57}}{19} \text{ см}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{57}}{19} \text{ см}$.