Номер 2, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2$, $AD = 2$, $AA_1 = 1$, найдите косинус угла между прямыми $BB_1$ и $DB_1$:

A) $\frac{1}{3}$; B) $\frac{1}{4}$; C) $\frac{1}{5}$; D) $\frac{1}{6}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Косинус угла между прямыми $BB_1$ и $DB_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A и осями, направленными вдоль ребер параллелепипеда:

Ось Ox — вдоль ребра $AB$.

Ось Oy — вдоль ребра $AD$.

Ось Oz — вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат найдем координаты вершин, необходимых для определения векторов прямых:

Точка $A$ является началом координат: $A(0; 0; 0)$.

Исходя из длин ребер, находим координаты других точек:

$B(2; 0; 0)$ (так как $AB = 2$ по оси Ox)

$D(0; 2; 0)$ (так как $AD = 2$ по оси Oy)

Координаты точки $B_1$ получаются смещением точки $B$ на вектор $\vec{AA_1} = (0; 0; 1)$, следовательно, $B_1(2; 0; 1)$.

Теперь найдем направляющие векторы для прямых $BB_1$ и $DB_1$.

Направляющий вектор для прямой $BB_1$ — это вектор $\vec{v_1} = \vec{BB_1}$:

$\vec{v_1} = (2-2; 0-0; 1-0) = (0; 0; 1)$.

Направляющий вектор для прямой $DB_1$ — это вектор $\vec{v_2} = \vec{DB_1}$:

$\vec{v_2} = (2-0; 0-2; 1-0) = (2; -2; 1)$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами и вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = 1$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{v_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

$|\vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{|1|}{1 \cdot 3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.