Номер 11.12, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 2 см (рис. 11.8).

Найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $BCE_1$.

Рис. 11.8

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Ребро основания $a = 2$ см.

Боковое ребро (высота) $h = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.02$ м

$h = 0.02$ м

Найти:

Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $BCE_1$, обозначим его $\rho(A_1, (BCE_1))$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке $O$ — центре нижнего основания призмы $ABCDEF$. Ось $Oz$ направим вдоль оси призмы $OO_1$. Ось $Ox$ направим так, чтобы она проходила через вершину $A$. Ось $Oy$ направим перпендикулярно оси $Ox$ в плоскости основания.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ см. Радиус описанной окружности для правильного шестиугольника равен его стороне, $R=a=2$ см. Высота призмы $h = 2$ см.

Найдем координаты необходимых нам вершин. Точки нижнего основания лежат в плоскости $z=0$, а точки верхнего основания — в плоскости $z=h=2$.

• Точка $A$ лежит на оси $Ox$, поэтому ее координаты $A(2, 0, 0)$.

• Точка $B$ получается поворотом точки $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки: $B(2\cos(60^\circ), 2\sin(60^\circ), 0)$, что дает $B(1, \sqrt{3}, 0)$.

• Точка $C$ получается поворотом точки $A$ на $120^\circ$: $C(2\cos(120^\circ), 2\sin(120^\circ), 0)$, что дает $C(-1, \sqrt{3}, 0)$.

• Точка $E$ получается поворотом точки $A$ на $240^\circ$: $E(2\cos(240^\circ), 2\sin(240^\circ), 0)$, что дает $E(-1, -\sqrt{3}, 0)$.

Координаты точек верхнего основания получаются добавлением высоты $h=2$ к аппликате (координате $z$):

• Точка $A_1$ имеет координаты $A_1(2, 0, 2)$.

• Точка $E_1$ имеет координаты $E_1(-1, -\sqrt{3}, 2)$.

Теперь составим уравнение плоскости $(BCE_1)$. Уравнение плоскости в общем виде: $Ax + By + Cz + D = 0$, где вектор $\vec{n}=(A, B, C)$ является нормальным вектором к плоскости.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BE_1}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (-1-1, \sqrt{3}-\sqrt{3}, 0-0) = (-2, 0, 0)$.

$\vec{BE_1} = (x_{E_1} - x_B, y_{E_1} - y_B, z_{E_1} - z_B) = (-1-1, -\sqrt{3}-\sqrt{3}, 2-0) = (-2, -2\sqrt{3}, 2)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BE_1}$:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BE_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ -2 & -2\sqrt{3} & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 2 - 0 \cdot (-2\sqrt{3})) - \vec{j}((-2) \cdot 2 - 0 \cdot (-2)) + \vec{k}((-2) \cdot (-2\sqrt{3}) - 0 \cdot (-2))$

$\vec{n} = 0\vec{i} - (-4)\vec{j} + 4\sqrt{3}\vec{k} = (0, 4, 4\sqrt{3})$.

Для удобства можно взять коллинеарный вектор, разделив координаты на 4: $\vec{n'} = (0, 1, \sqrt{3})$.

Таким образом, уравнение плоскости $(BCE_1)$ имеет вид: $0 \cdot x + 1 \cdot y + \sqrt{3} \cdot z + D = 0$, или $y + \sqrt{3}z + D = 0$.

Чтобы найти коэффициент $D$, подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, точки $B(1, \sqrt{3}, 0)$:

$\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 0 + D = 0 \implies D = -\sqrt{3}$.

Итак, уравнение плоскости $(BCE_1)$ есть $y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$.

Теперь найдем расстояние $\rho$ от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ по формуле:

$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае искомая точка – это $A_1(2, 0, 2)$, а плоскость – $y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$. Коэффициенты уравнения плоскости: $A=0, B=1, C=\sqrt{3}, D=-\sqrt{3}$. Координаты точки: $x_0=2, y_0=0, z_0=2$.

Подставляем значения в формулу:

$\rho(A_1, (BCE_1)) = \frac{|0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$\rho(A_1, (BCE_1)) = \frac{|2\sqrt{3} - \sqrt{3}|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $BCE_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.