Номер 6, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $BC$:

A) $\frac{\sqrt{3}}{3}$;

B) $\frac{\sqrt{5}}{5}$;

C) $\frac{1}{5}$;

D) $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$

Сторона основания $a = 1$ см

Высота пирамиды $h = 2$ см

Перевод в систему СИ:
Сторона основания $a = 0.01$ м
Высота пирамиды $h = 0.02$ м

Найти:

Косинус угла между прямыми $SA$ и $BC$.

Решение:

Угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BC$ равен углу между прямой $SA$ и любой прямой, параллельной $BC$ и пересекающей $SA$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника. В правильном шестиугольнике сторона $BC$ параллельна и равна отрезку $AO$, соединяющему центр с вершиной $A$. Это следует из того, что четырехугольник $ABCO$ является ромбом (все его стороны $AB, BC, CO, OA$ равны стороне шестиугольника).

Таким образом, искомый угол между прямыми $SA$ и $BC$ равен углу между прямыми $SA$ и $AO$, то есть углу $\angle SAO$.

Рассмотрим треугольник $SAO$.

Поскольку пирамида правильная, ее высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, высота $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AO$. Значит, треугольник $SAO$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle SOA = 90^\circ$.

Найдем длины катетов этого треугольника:

1. Катет $SO$ является высотой пирамиды, по условию $SO = h = 2$ см.

2. Катет $AO$ является радиусом описанной около правильного шестиугольника окружности. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне. По условию сторона основания $a=1$ см, следовательно, $AO = 1$ см.

Теперь найдем гипотенузу $SA$ по теореме Пифагора:

$SA^2 = SO^2 + AO^2$

$SA^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$SA = \sqrt{5}$ см.

Косинус угла $\angle SAO$ в прямоугольном треугольнике $SAO$ равен отношению прилежащего катета $AO$ к гипотенузе $SA$:

$\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\angle SAO) = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этот результат соответствует варианту B).

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$.