Номер 11, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ABC: $

A) $\frac{1}{3}$

B) $\frac{1}{4}$

C) $\frac{1}{5}$

D) $\frac{1}{6}$

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. В нашем случае, искомый угол $\alpha$ — это угол между прямой $DB_1$ и плоскостью основания $ABC$.

1. Найдём проекцию прямой $DB_1$ на плоскость $ABC$.

- Точка $D$ принадлежит плоскости $ABC$, следовательно, её проекция на эту плоскость — сама точка $D$.

- Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Значит, точка $B$ является ортогональной проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$.

- Таким образом, прямая $DB$ является проекцией прямой $DB_1$ на плоскость $ABC$.

2. Искомый угол $\alpha$ — это угол между наклонной $DB_1$ и её проекцией $DB$. Следовательно, $\alpha = \angle B_1DB$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle B_1DB$. Так как $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $DB$. Значит, треугольник $\triangle B_1DB$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle DBB_1 = 90^\circ$.

4. В прямоугольном треугольнике $\triangle B_1DB$ синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $BB_1$ к гипотенузе $DB_1$:

$\sin(\alpha) = \sin(\angle B_1DB) = \frac{BB_1}{DB_1}$

5. Найдём длины сторон $BB_1$ и $DB_1$.

- Длина катета $BB_1$ равна высоте параллелепипеда: $BB_1 = AA_1 = 1$.

- Длину гипотенузы $DB_1$, которая является пространственной диагональю параллелепипеда, можно найти по формуле квадрата диагонали прямоугольного параллелепипеда, который равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты):

$DB_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2$

Подставим данные значения:

$DB_1^2 = 2^2 + 2^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9$

$DB_1 = \sqrt{9} = 3$

6. Теперь вычислим синус искомого угла:

$\sin(\alpha) = \frac{BB_1}{DB_1} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.