Номер 14, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Для правильной четырехугольной пирамиды SABCD, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите синус угла между прямой SA и плоскостью ABC:

A) $\frac{\sqrt{2}}{6}$; B) $\frac{\sqrt{2}}{3}$; C) $\frac{\sqrt{3}}{6}$; D) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания $AB = 1$ см
Высота $SO = 2$ см

В системе СИ:

$AB = 0.01$ м
$SO = 0.02$ м

Найти:

$\sin(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между прямой $SA$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Поскольку пирамида SABCD является правильной, ее основание ABCD — это квадрат, а высота SO проецируется в центр основания O (точку пересечения диагоналей квадрата).

Угол между прямой $SA$ и плоскостью основания $ABC$ — это угол между самой прямой $SA$ и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией наклонной $SA$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AO$. Следовательно, искомый угол — это $\angle SAO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$, так как $SO$ — высота и перпендикулярна плоскости основания). В этом треугольнике:

- Катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO = 2$ см.

- Катет $AO$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Найдем длину диагонали $AC$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Точка $O$ является серединой диагонали $AC$, поэтому:

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Синус угла $\angle SAO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$ равен отношению противолежащего катета $SO$ к гипотенузе $SA$. Найдем длину гипотенузы $SA$ по теореме Пифагора:

$SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{4 + \frac{2}{4}} = \sqrt{4 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь можем найти синус искомого угла:

$\sin(\angle SAO) = \frac{SO}{SA} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \cdot 2}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.