Номер 12, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ABC_1$:

A) $\frac{\sqrt{5}}{15}$;

B) $\frac{2\sqrt{5}}{15}$;

C) $\frac{3\sqrt{5}}{15}$;

D) $\frac{4\sqrt{5}}{15}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ABC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Найдем координаты вершин, необходимых для решения:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(2, 0, 0)$
• $D(0, 2, 0)$
• $B_1(2, 0, 1)$
• $C_1(2, 2, 1)$

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью можно найти по формуле:

$\sin\alpha = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$

где $\vec{s}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

1. Найдем направляющий вектор $\vec{s}$ прямой $DB_1$.

$\vec{s} = \vec{DB_1} = (x_{B_1} - x_D; y_{B_1} - y_D; z_{B_1} - z_D) = (2 - 0; 0 - 2; 1 - 0) = (2, -2, 1)$

Длина вектора $\vec{s}$:

$|\vec{s}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

2. Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ABC_1$.

Плоскость проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$ и $C_1(2, 2, 1)$. Вектор нормали перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости. Возьмем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$.

$\vec{AB} = (2 - 0; 0 - 0; 0 - 0) = (2, 0, 0)$

$\vec{AC_1} = (2 - 0; 2 - 0; 1 - 0) = (2, 2, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ найдем как векторное произведение $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = 0\vec{i} - 2\vec{j} + 4\vec{k} = (0, -2, 4)$

Длина вектора $\vec{n}$:

$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

3. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$.

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 0 + (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 4 = 0 + 4 + 4 = 8$

4. Вычислим синус угла.

$\sin\alpha = \frac{|8|}{3 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{8}{6\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\sin\alpha = \frac{4\sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{4\sqrt{5}}{15}$

Ответ: $\frac{4\sqrt{5}}{15}$.