Номер 15, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите синус угла между прямой $SC$ и плоскостью $ABC$:

A) $\frac{\sqrt{5}}{5}$;

B) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$;

C) $\frac{\sqrt{3}}{5}$;

D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$
Сторона основания $a = 1$ см
Высота $h = 2$ см

$a = 0.01$ м
$h = 0.02$ м

Найти:

$\sin(\alpha)$ — синус угла между прямой $SC$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ вершина $S$ проецируется в центр основания — точку $O$. Таким образом, перпендикуляр, опущенный из точки $S$ на плоскость основания $ABC$, является отрезком $SO$, который равен высоте пирамиды, $SO = h = 2$ см.

Прямая $SC$ является наклонной к плоскости основания. Её проекцией на плоскость $ABC$ будет отрезок $OC$. Следовательно, искомый угол — это угол между наклонной $SC$ и её проекцией $OC$, то есть угол $\angle SCO$. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOC$. Так как $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $OC$. Значит, треугольник $\triangle SOC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle SOC$.

Синус угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SOC$ равен отношению противолежащего катета $SO$ к гипотенузе $SC$: $$ \sin(\alpha) = \frac{SO}{SC} $$

Нам известна длина катета $SO = 2$ см. Найдем длины отрезков $OC$ и $SC$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне. Отрезок $OC$ является радиусом описанной окружности. Следовательно, его длина равна стороне основания: $$ OC = a = 1 \text{ см} $$

Теперь найдем длину гипотенузы $SC$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle SOC$: $$ SC^2 = SO^2 + OC^2 $$ $$ SC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 $$ $$ SC = \sqrt{5} \text{ см} $$

Подставим найденные значения $SO$ и $SC$ в формулу для синуса угла $\alpha$: $$ \sin(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}} $$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$: $$ \sin(\alpha) = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $$

Данное значение соответствует варианту B).

Ответ: $B) \frac{2\sqrt{5}}{5}$.