Номер 10, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Для правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите косинус угла между плоскостями $SAB$ и $SBC$:

A) $\frac{1}{11}$;

B) $\frac{1}{13}$;

C) $\frac{1}{15}$;

D) $\frac{1}{17}$.

Дано:

Пирамида SABCD - правильная четырехугольная.

Сторона основания $a = 1$ см.

Высота пирамиды $h = 2$ см.

Переведем данные в систему СИ:

$a = 0.01$ м

$h = 0.02$ м

Найти:

Косинус угла $\phi$ между плоскостями боковых граней SAB и SBC: $\cos(\phi)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим начало координат O в центр основания пирамиды (центр квадрата ABCD). Ось Oz направим вдоль высоты пирамиды SO. Оси Ox и Oy направим параллельно сторонам основания.

В этой системе координат вершины пирамиды будут иметь следующие координаты (для удобства вычислений оставим размеры в см):

Вершина S, находящаяся на высоте $h=2$ на оси Oz, имеет координаты $S(0, 0, 2)$.

Вершины основания ABCD, которое является квадратом со стороной $a=1$ и центром в начале координат, имеют координаты:

$A(0.5, -0.5, 0)$

$B(0.5, 0.5, 0)$

$C(-0.5, 0.5, 0)$

$D(-0.5, -0.5, 0)$

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Найдем нормальные векторы для плоскостей SAB и SBC.

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости SAB можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{SA}$ и $\vec{SB}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{SA} = \{0.5 - 0; -0.5 - 0; 0 - 2\} = \{0.5; -0.5; -2\}$

$\vec{SB} = \{0.5 - 0; 0.5 - 0; 0 - 2\} = \{0.5; 0.5; -2\}$

Вычислим векторное произведение $\vec{n_1} = \vec{SA} \times \vec{SB}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.5 & -0.5 & -2 \\ 0.5 & 0.5 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-0.5)(-2) - (0.5)(-2)) - \mathbf{j}((0.5)(-2) - (0.5)(-2)) + \mathbf{k}((0.5)(0.5) - (0.5)(-0.5))$

$\vec{n_1} = \mathbf{i}(1 + 1) - \mathbf{j}(-1 + 1) + \mathbf{k}(0.25 + 0.25) = 2\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 0.5\mathbf{k} = \{2; 0; 0.5\}$

Для удобства можно взять коллинеарный вектор, умножив координаты на 2: $\vec{n_1'} = \{4; 0; 1\}$.

Теперь найдем нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости SBC как векторное произведение векторов $\vec{SB}$ и $\vec{SC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{SC}$:

$\vec{SC} = \{-0.5 - 0; 0.5 - 0; 0 - 2\} = \{-0.5; 0.5; -2\}$

Вектор $\vec{SB}$ нам уже известен: $\vec{SB} = \{0.5; 0.5; -2\}$.

Вычислим векторное произведение $\vec{n_2} = \vec{SB} \times \vec{SC}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.5 & 0.5 & -2 \\ -0.5 & 0.5 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((0.5)(-2) - (0.5)(-2)) - \mathbf{j}((0.5)(-2) - (-0.5)(-2)) + \mathbf{k}((0.5)(0.5) - (-0.5)(0.5))$

$\vec{n_2} = \mathbf{i}(-1 + 1) - \mathbf{j}(-1 - 1) + \mathbf{k}(0.25 + 0.25) = 0\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 0.5\mathbf{k} = \{0; 2; 0.5\}$

Для удобства также умножим координаты на 2: $\vec{n_2'} = \{0; 4; 1\}$.

Косинус угла $\phi$ между плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами (так как угол между плоскостями по определению находится в промежутке от $0$ до $90$ градусов):

$\cos(\phi) = \frac{|\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'}|}{||\vec{n_1'}|| \cdot ||\vec{n_2'}||}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1'}$ и $\vec{n_2'}$:

$\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'} = (4)(0) + (0)(4) + (1)(1) = 1$

Найдем длины (модули) векторов:

$||\vec{n_1'}|| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

$||\vec{n_2'}|| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos(\phi) = \frac{|1|}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{1}{17}$

Таким образом, косинус угла между плоскостями SAB и SBC равен $\frac{1}{17}$.

Ответ: $\frac{1}{17}$.