Номер 8, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите косинус угла между плоскостями $ABC_1$ и $ACD_1: $

A) $\frac{\sqrt{30}}{6}$;

B) $\frac{\sqrt{20}}{6}$;

C) $\frac{\sqrt{10}}{6}$;

D) $\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Косинус угла между плоскостями $ABC_1$ и $ACD_1$, то есть $\cos(\widehat{(ABC_1), (ACD_1)})$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины параллелепипеда, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$B(0, 2, 0)$

$D(2, 0, 0)$

$C$, смежная с $B$ и $D$ в основании, будет иметь координаты $C(2, 2, 0)$.

$C_1$, находящаяся над $C$, будет иметь координаты $C_1(2, 2, 1)$.

$D_1$, находящаяся над $D$, будет иметь координаты $D_1(2, 0, 1)$.

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Найдем нормальные векторы для каждой из плоскостей.

1. Плоскость $ABC_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $B(0,2,0)$ и $C_1(2,2,1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{AB} = (0-0, 2-0, 0-0) = (0, 2, 0)$

$\vec{AC_1} = (2-0, 2-0, 1-0) = (2, 2, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ABC_1$ можно найти как векторное произведение этих векторов:

$\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(0 \cdot 2 - 2 \cdot 2) = 2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} - 4\mathbf{k} = (2, 0, -4)$.

Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 2: $\vec{n_1}' = (1, 0, -2)$.

2. Плоскость $ACD_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $C(2,2,0)$ и $D_1(2,0,1)$.

Найдем два вектора в этой плоскости: $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$:

$\vec{AC} = (2-0, 2-0, 0-0) = (2, 2, 0)$

$\vec{AD_1} = (2-0, 0-0, 1-0) = (2, 0, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $ACD_1$ найдем как их векторное произведение:

$\vec{n_2} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot 0 - 2 \cdot 2) = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 4\mathbf{k} = (2, -2, -4)$.

Упростим этот вектор, разделив его на 2: $\vec{n_2}' = (1, -1, -2)$.

3. Найдем косинус угла между плоскостями. Косинус угла $\theta$ между плоскостями вычисляется по формуле:

$\cos\theta = \frac{|\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}'|}{|\vec{n_1}'| \cdot |\vec{n_2}'|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n_1}'$ и $\vec{n_2}'$:

$\vec{n_1}' \cdot \vec{n_2}' = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = 1 + 0 + 4 = 5$.

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{n_1}'| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+0+4} = \sqrt{5}$.

$|\vec{n_2}'| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos\theta = \frac{|5|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{\sqrt{30}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{30}$:

$\cos\theta = \frac{5 \cdot \sqrt{30}}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{30}} = \frac{5\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{6}$.