Номер 3, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$;

A) $\frac{1}{3};$ B) $\frac{1}{4};$ C) $\frac{1}{5};$ D) $\frac{1}{6}.$

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Направим оси координат вдоль ребер параллелепипеда:

• Ось $Ox$ вдоль ребра $AB$.
• Ось $Oy$ вдоль ребра $AD$.
• Ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат найдем координаты вершин, определяющих прямые $AB_1$ и $BC_1$.

Координаты точек:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(2, 0, 0)$ (поскольку $AB=2$)
• $B_1(2, 0, 1)$ (поскольку $AA_1=1$)
• $C_1(2, 2, 1)$ (поскольку $AD=2$, $AB=2$, $AA_1=1$)

Теперь определим координаты направляющих векторов для прямых $AB_1$ и $BC_1$.

Вектор $\vec{AB_1}$ имеет координаты, равные разности координат его конца и начала:

$\vec{AB_1} = \{2-0, 0-0, 1-0\} = \{2, 0, 1\}$.

Аналогично для вектора $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = \{2-2, 2-0, 1-0\} = \{0, 2, 1\}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами $\vec{a}=\{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b}=\{x_2, y_2, z_2\}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{|x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5}$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{0+4+1} = \sqrt{5}$.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{|1|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.