Номер 4, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Для правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите угол между прямыми $SA$ и $BD$:

A) $30^\circ$; B) $45^\circ$; C) $60^\circ$; D) $90^\circ$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ – правильная четырехугольная.
Сторона основания $a = 1$ см.
Высота $h = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м
$h = 0.02$ м

Найти:

Угол $\alpha$ между прямыми $SA$ и $BD$.

Решение:

Поскольку пирамида $SABCD$ правильная, ее основанием является квадрат $ABCD$, а высота $SO$ опускается в центр этого квадрата — точку $O$, которая является точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Прямые $SA$ и $BD$ являются скрещивающимися. Угол между ними можно найти, доказав перпендикулярность прямой $BD$ и плоскости, содержащей прямую $SA$.

Рассмотрим плоскость диагонального сечения $SAC$. Прямая $SA$ по определению лежит в этой плоскости.

1. Диагонали квадрата $ABCD$ перпендикулярны друг другу. Следовательно, $BD \perp AC$.

2. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Так как прямая $BD$ лежит в плоскости основания, то высота $SO$ перпендикулярна прямой $BD$. Следовательно, $SO \perp BD$.

3. Мы имеем, что прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $SO$) в плоскости $SAC$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BD$ перпендикулярна всей плоскости $SAC$.

4. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $SA$ лежит в плоскости $SAC$, следовательно, прямая $BD$ перпендикулярна прямой $SA$.

Таким образом, искомый угол между прямыми $SA$ и $BD$ равен $90^\circ$. Стоит отметить, что этот результат справедлив для любой правильной четырехугольной пирамиды и не зависит от конкретных значений длины стороны основания и высоты.

Ответ: $90^\circ$.