Номер 11.10, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.10. В правильной четырехугольной пи-рамиде $SABCD$ все стороны основания и высота равны 2 см (рис. 11.6). Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$.

Рис. 11.6

Дано:

$SABCD$ – правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания $AB = BC = CD = DA = a = 2$ см.
Высота пирамиды $SO = H = 2$ см.

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$H = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$, обозначим его как $d(A, (SBC))$.

Решение:

Расстояние от точки до плоскости можно найти, используя метод объемов. Рассмотрим пирамиду $ASBC$. Ее объем можно вычислить двумя способами.

Способ 1: Примем за основание треугольник $ABC$, тогда высотой будет высота исходной пирамиды $SO$.
В основании правильной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как угол $\angle ABC = 90^\circ$. Площадь треугольника $ABC$ равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (0.02 \text{ м})^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.0004 \text{ м}^2 = 0.0002 \text{ м}^2$

Объем пирамиды $SABC$ (он же $ASBC$) равен:

$V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 0.0002 \text{ м}^2 \cdot 0.02 \text{ м} = \frac{0.000004}{3} \text{ м}^3$

Способ 2: Примем за основание грань $SBC$, тогда высотой будет искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$, то есть $d(A, (SBC))$.
Объем пирамиды $ASBC$ в этом случае выражается формулой:

$V_{ASBC} = \frac{1}{3} \cdot S_{SBC} \cdot d(A, (SBC))$

Найдем площадь грани $SBC$. Это равнобедренный треугольник с основанием $BC = a = 0.02$ м. Для нахождения площади проведем апофему $SN$ (высоту грани $SBC$), где $N$ – середина ребра $BC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SON$. $O$ – центр квадрата $ABCD$, $SO$ – высота пирамиды. $ON$ – отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой стороны $BC$, поэтому $ON$ перпендикулярен $BC$ и равен половине стороны $AB$.

$ON = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot 0.02 \text{ м} = 0.01 \text{ м}$

По теореме Пифагора для треугольника $SON$ найдем апофему $SN$:

$SN = \sqrt{SO^2 + ON^2} = \sqrt{(0.02 \text{ м})^2 + (0.01 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0004 + 0.0001} \text{ м} = \sqrt{0.0005} \text{ м} = \sqrt{5 \cdot 10^{-4}} \text{ м} = \sqrt{5} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Теперь можем найти площадь треугольника $SBC$:

$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SN = \frac{1}{2} \cdot 0.02 \text{ м} \cdot (\sqrt{5} \cdot 10^{-2} \text{ м}) = 0.01 \cdot \sqrt{5} \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 = \sqrt{5} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Приравняем два выражения для объема пирамиды $ASBC$:

$\frac{1}{3} \cdot S_{SBC} \cdot d(A, (SBC)) = V_{SABC}$

$\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{5} \cdot 10^{-4}) \cdot d(A, (SBC)) = \frac{0.000004}{3}$

Умножим обе части на 3:

$(\sqrt{5} \cdot 10^{-4}) \cdot d(A, (SBC)) = 0.000004$

$d(A, (SBC)) = \frac{0.000004}{\sqrt{5} \cdot 10^{-4}} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{\sqrt{5} \cdot 10^{-4}} = \frac{4 \cdot 10^{-2}}{\sqrt{5}} \text{ м}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d(A, (SBC)) = \frac{4 \cdot 10^{-2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} \cdot 10^{-2}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \cdot 0.01 \text{ м}$

Переведем ответ в сантиметры для удобства:

$d(A, (SBC)) = \frac{4\sqrt{5}}{5} \text{ см}$

Ответ: Расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$ равно $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ см.