Номер 11.8, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ стороны основания и высота равны 4 см. Точка $E$ — середина ребра $SA$ (рис. 11.4). Найдите расстояние от точки $E$ до плоскости $SBC$.

Рис. 11.4

Дано:

$SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания $a = 4$ см.
Высота пирамиды $h = SO = 4$ см.
Точка $E$ - середина ребра $SA$.

Найти:

Расстояние от точки $E$ до плоскости $SBC$, обозначаемое как $\rho(E, (SBC))$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $O$ - центре основания пирамиды. Ось $Ox$ направим параллельно ребру $AB$, ось $Oy$ - параллельно ребру $BC$, а ось $Oz$ - вдоль высоты $SO$.

В этой системе координат вершины пирамиды будут иметь следующие координаты:

Поскольку сторона основания равна 4, то половина стороны равна 2. Координаты вершин основания:$A(-2, -2, 0)$
$B(2, -2, 0)$
$C(2, 2, 0)$
$D(-2, 2, 0)$

Высота пирамиды равна 4, поэтому вершина $S$ имеет координаты:$S(0, 0, 4)$

Точка $E$ является серединой ребра $SA$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $S$ и $A$:$x_E = \frac{x_S + x_A}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = -1$
$y_E = \frac{y_S + y_A}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = -1$
$z_E = \frac{z_S + z_A}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2$
Таким образом, точка $E$ имеет координаты $(-1, -1, 2)$.

Теперь найдем уравнение плоскости $SBC$. Уравнение плоскости в общем виде: $ax + by + cz + d = 0$. Для его нахождения используем координаты трех точек, лежащих в этой плоскости: $S(0, 0, 4)$, $B(2, -2, 0)$ и $C(2, 2, 0)$.

Сначала найдем два вектора, лежащих в плоскости $SBC$, например, $\vec{SB}$ и $\vec{BC}$:$\vec{SB} = (2-0, -2-0, 0-4) = (2, -2, -4)$
$\vec{BC} = (2-2, 2-(-2), 0-0) = (0, 4, 0)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $SBC$ перпендикулярен обоим этим векторам, и его можно найти как их векторное произведение:$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & -4 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}((-2)(0) - (-4)(4)) - \vec{j}((2)(0) - (-4)(0)) + \vec{k}((2)(4) - (-2)(0))$$\vec{n} = \vec{i}(0 + 16) - \vec{j}(0 - 0) + \vec{k}(8 - 0) = 16\vec{i} + 0\vec{j} + 8\vec{k} = (16, 0, 8)$

Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты $\vec{n}$ на 8. Получим вектор нормали $\vec{n'} = (2, 0, 1)$.Следовательно, уравнение плоскости $SBC$ имеет вид: $2x + 0y + 1z + d = 0$, или $2x + z + d = 0$.

Чтобы найти коэффициент $d$, подставим в это уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, $S(0, 0, 4)$:$2(0) + 4 + d = 0 \implies 4 + d = 0 \implies d = -4$.

Таким образом, уравнение плоскости $SBC$ имеет вид: $2x + z - 4 = 0$.

Расстояние $\rho$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$ вычисляется по формуле:$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Найдем расстояние от точки $E(-1, -1, 2)$ до плоскости $2x + 0y + 1z - 4 = 0$:$\rho(E, (SBC)) = \frac{|2(-1) + 0(-1) + 1(2) - 4|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|-2 + 0 + 2 - 4|}{\sqrt{4 + 0 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:$\frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

Ответ: расстояние от точки $E$ до плоскости $SBC$ равно $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ см.