Номер 11.3, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.3. Для правильной четырехугольной пирамиды SABCD стороны основания и высота которой равны 1 см, найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Сторона основания $a = AB = BC = CD = DA = 1$ см

Высота $h = SO = 1$ см (где O - центр основания)

Найти:

Расстояние от точки B до плоскости SAC, $\rho(B, (SAC))$

Решение:

По определению, расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Так как пирамида SABCD правильная, ее основание ABCD является квадратом, а высота SO опущена в центр этого квадрата — точку пересечения диагоналей O.

Рассмотрим основание пирамиды. Диагонали квадрата AC и BD взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Следовательно, отрезок $BO$ перпендикулярен отрезку $AC$ ($BO \perp AC$).

Высота пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания (ABCD) по определению. Это означает, что SO перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $SO \perp BD$, а значит и $SO \perp BO$.

Таким образом, прямая BO перпендикулярна двум пересекающимся прямым (AC и SO), лежащим в плоскости SAC.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, $BO \perp (SAC)$.

Это означает, что длина отрезка BO и есть искомое расстояние от точки B до плоскости SAC.

Найдем длину BO. Диагональ BD квадрата ABCD со стороной $a=1$ см находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABD:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, поэтому:

$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: расстояние от точки B до плоскости SAC равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.