Номер 10.9, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 2 см, а высота равна 4 см (рис. 10.6). Найдите синус угла между плоскостью $SAB$ и прямой:

а) $BD$;

б) $SC$.

Рис. 10.6

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида.
Сторона основания $a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.
Высота пирамиды $H = SO = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.

Найти:

Синус угла между плоскостью $SAB$ и прямой:
а) $BD$
б) $SC$

Решение:

Угол $\phi$ между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Синус этого угла равен отношению расстояния от любой точки на прямой (не лежащей в плоскости) до плоскости, к расстоянию от этой точки до точки пересечения прямой с плоскостью.

а) BD

Пусть $\phi_a$ — угол между прямой $BD$ и плоскостью $(SAB)$. Прямая $BD$ пересекает плоскость $(SAB)$ в точке $B$. Возьмем на прямой $BD$ точку $D$. Тогда синус искомого угла можно найти по формуле:

$\sin(\phi_a) = \frac{d(D, (SAB))}{BD}$

где $d(D, (SAB))$ — расстояние от точки $D$ до плоскости $(SAB)$, а $BD$ — длина отрезка $BD$.

1. Найдем длину $BD$. В основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=2$ см. Диагональ $AD$ проходит через центр $O$ и равна $AD = 2a = 4$ см. Треугольник $ABD$ является прямоугольным, так как угол $\angle ABD = 90^\circ$ (это следует из того, что $\triangle OAB$ равносторонний и $\angle OAB = 60^\circ$, а $\triangle BCD$ равнобедренный с углом при вершине $120^\circ$, значит $\angle CBD = 30^\circ$, следовательно $\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$).По теореме Пифагора из $\triangle ABD$:$BD = \sqrt{AD^2 - AB^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Найдем расстояние $d(D, (SAB))$, используя метод объемов для тетраэдра $S.ABD$.Объем тетраэдра $S.ABD$ можно вычислить как $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABD} \cdot SO$.Площадь основания $\triangle ABD$:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см$^2$.Тогда объем тетраэдра:$V = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

С другой стороны, тот же объем можно выразить, приняв за основание грань $SAB$, а за высоту — расстояние от точки $D$ до плоскости $(SAB)$:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{SAB} \cdot d(D, (SAB))$.Найдем площадь грани $SAB$. Это равнобедренный треугольник с основанием $AB=2$ см. Проведем апофему $SM$, где $M$ — середина $AB$. $SM$ — высота $\triangle SAB$.Сначала найдем апофему основания $OM$. В правильном шестиугольнике $OM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.Из прямоугольного треугольника $SOM$ найдем апофему пирамиды $SM$:$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}$ см.Площадь грани $SAB$:$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{19} = \sqrt{19}$ см$^2$.

Теперь приравняем выражения для объема:$\frac{1}{3} \cdot \sqrt{19} \cdot d(D, (SAB)) = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$d(D, (SAB)) = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$ см.

3. Вычислим синус угла:$\sin(\phi_a) = \frac{d(D, (SAB))}{BD} = \frac{8\sqrt{3}/\sqrt{19}}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{19}} = \frac{4\sqrt{19}}{19}$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{19}}{19}$

б) SC

Пусть $\phi_b$ — угол между прямой $SC$ и плоскостью $(SAB)$. Прямая $SC$ пересекает плоскость $(SAB)$ в точке $S$. Возьмем на прямой $SC$ точку $C$. Тогда синус искомого угла можно найти по формуле:

$\sin(\phi_b) = \frac{d(C, (SAB))}{SC}$

где $d(C, (SAB))$ — расстояние от точки $C$ до плоскости $(SAB)$, а $SC$ — длина бокового ребра.

1. Найдем длину бокового ребра $SC$. Из прямоугольного треугольника $SOC$:$SC = \sqrt{SO^2 + OC^2}$.$OC$ — радиус описанной окружности основания, для правильного шестиугольника $R=a=2$ см.$SC = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

2. Найдем расстояние $d(C, (SAB))$, используя метод объемов для тетраэдра $S.ABC$.Объем тетраэдра $S.ABC$ можно вычислить как $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SO$.Найдем площадь треугольника $ABC$. В правильном шестиугольнике угол $\angle ABC = 120^\circ$. Стороны $AB=BC=2$ см.$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.Тогда объем тетраэдра:$V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 4 = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

С другой стороны, тот же объем можно выразить, приняв за основание грань $SAB$, а за высоту — расстояние от точки $C$ до плоскости $(SAB)$:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{SAB} \cdot d(C, (SAB))$.Площадь грани $S_{SAB}$ была найдена в пункте а): $S_{SAB} = \sqrt{19}$ см$^2$.

Приравняем выражения для объема:$\frac{1}{3} \cdot \sqrt{19} \cdot d(C, (SAB)) = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$d(C, (SAB)) = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}}$ см.

3. Вычислим синус угла:$\sin(\phi_b) = \frac{d(C, (SAB))}{SC} = \frac{4\sqrt{3}/\sqrt{19}}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{95}} = \frac{2\sqrt{285}}{95}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{285}}{95}$