Номер 10.11, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.11. Повторите определение расстояния от точки до плоскости.

Решение

Определение расстояния от точки до плоскости является фундаментальным понятием в стереометрии. Рассмотрим его подробно.

Пусть в пространстве задана точка $M$ и плоскость $\alpha$. Возможны два случая:

1. Точка лежит на плоскости. Если точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ (пишется $M \in \alpha$), то расстояние от точки до плоскости по определению считается равным нулю.

2. Точка не лежит на плоскости. Если точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$), то для нахождения расстояния необходимо выполнить следующее построение:

Из точки $M$ опускается перпендикуляр на плоскость $\alpha$. Перпендикуляром из точки на плоскость называется отрезок, соединяющий эту точку с точкой на плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости. Обозначим основание этого перпендикуляра (точку его пересечения с плоскостью) как $H$. Точка $H$ также называется ортогональной проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$.

Расстоянием от точки $M$ до плоскости $\alpha$ называется длина перпендикуляра $MH$, проведенного из точки $M$ к плоскости $\alpha$.

Это расстояние является кратчайшим из всех возможных расстояний от точки $M$ до любой точки, лежащей на плоскости $\alpha$. Любой другой отрезок $MK$, где $K$ — произвольная точка плоскости $\alpha$, отличная от $H$, называется наклонной. В прямоугольном треугольнике $MHK$ (угол $\angle MHK = 90^\circ$) отрезок $MH$ является катетом, а наклонная $MK$ — гипотенузой. Следовательно, $|MH| < |MK|$.

Нахождение расстояния с помощью координат

Если в пространстве введена прямоугольная система координат, и точка задана своими координатами $M(x_0, y_0, z_0)$, а плоскость $\alpha$ — общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то расстояние $d$ от точки $M$ до плоскости $\alpha$ можно вычислить по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Эта формула позволяет найти расстояние аналитически, без геометрических построений.

Ответ: Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то расстояние от неё до плоскости равно нулю.