Номер 10.5, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10.5. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 3, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите синус угла между плоскостью $ACD_1$ и прямой:

а) $DB$;

б) $DA_1$;

в) $DC_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 3$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

а) Синус угла между плоскостью $ACD_1$ и прямой $DB$.

б) Синус угла между плоскостью $ACD_1$ и прямой $DA_1$.

в) Синус угла между плоскостью $ACD_1$ и прямой $DC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины параллелепипеда, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$B(3, 0, 0)$

$C(3, 2, 0)$

$D(0, 2, 0)$

$A_1(0, 0, 1)$

$C_1(3, 2, 1)$

$D_1(0, 2, 1)$

Угол $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{s}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ можно найти по формуле:

$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ACD_1$. Для этого найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$.

$\vec{AC} = \{C_x - A_x, C_y - A_y, C_z - A_z\} = \{3-0, 2-0, 0-0\} = \{3, 2, 0\}$

$\vec{AD_1} = \{D_{1x} - A_x, D_{1y} - A_y, D_{1z} - A_z\} = \{0-0, 2-0, 1-0\} = \{0, 2, 1\}$

Вектор нормали $\vec{n}$ является векторным произведением этих векторов:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(3 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 6\mathbf{k}$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = \{2, -3, 6\}$.

Найдем его модуль:

$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

Теперь решим каждую из подзадач.

а)

Найдем направляющий вектор $\vec{s_1}$ для прямой $DB$:

$\vec{s_1} = \vec{DB} = \{B_x - D_x, B_y - D_y, B_z - D_z\} = \{3-0, 0-2, 0-0\} = \{3, -2, 0\}$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{s_1}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

Найдем скалярное произведение $\vec{s_1} \cdot \vec{n}$:

$\vec{s_1} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) + 0 \cdot 6 = 6 + 6 + 0 = 12$.

Синус угла $\alpha_1$ между прямой $DB$ и плоскостью $ACD_1$ равен:

$\sin(\alpha_1) = \frac{|\vec{s_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s_1}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|12|}{\sqrt{13} \cdot 7} = \frac{12}{7\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{13}}{91}$.

Ответ: $\frac{12\sqrt{13}}{91}$.

б)

Найдем направляющий вектор $\vec{s_2}$ для прямой $DA_1$:

$\vec{s_2} = \vec{DA_1} = \{A_{1x} - D_x, A_{1y} - D_y, A_{1z} - D_z\} = \{0-0, 0-2, 1-0\} = \{0, -2, 1\}$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{s_2}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}$.

Найдем скалярное произведение $\vec{s_2} \cdot \vec{n}$:

$\vec{s_2} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) + 1 \cdot 6 = 0 + 6 + 6 = 12$.

Синус угла $\alpha_2$ между прямой $DA_1$ и плоскостью $ACD_1$ равен:

$\sin(\alpha_2) = \frac{|\vec{s_2} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s_2}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|12|}{\sqrt{5} \cdot 7} = \frac{12}{7\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{35}$.

Ответ: $\frac{12\sqrt{5}}{35}$.

в)

Найдем направляющий вектор $\vec{s_3}$ для прямой $DC_1$:

$\vec{s_3} = \vec{DC_1} = \{C_{1x} - D_x, C_{1y} - D_y, C_{1z} - D_z\} = \{3-0, 2-2, 1-0\} = \{3, 0, 1\}$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{s_3}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$.

Найдем скалярное произведение $\vec{s_3} \cdot \vec{n}$:

$\vec{s_3} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 2 + 0 \cdot (-3) + 1 \cdot 6 = 6 + 0 + 6 = 12$.

Синус угла $\alpha_3$ между прямой $DC_1$ и плоскостью $ACD_1$ равен:

$\sin(\alpha_3) = \frac{|\vec{s_3} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s_3}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|12|}{\sqrt{10} \cdot 7} = \frac{12}{7\sqrt{10}} = \frac{12\sqrt{10}}{70} = \frac{6\sqrt{10}}{35}$.

Ответ: $\frac{6\sqrt{10}}{35}$.