gdz.top
Номер 10.1, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава II. Применение уравнений прямой и плоскости в пространстве. Параграф 10. Нахождение угла между прямой и плоскостью - номер 10.1, страница 66.
Вопросы
№10.1 (с. 66)
Условие. №10.1 (с. 66)
10.1. Найдите синус угла между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты $(1; 2; 2)$, и плоскостью, вектор нормали которой имеет координаты $(-2; 1; 2)$.
Решение 2 (rus). №10.1 (с. 66)
Дано:
Направляющий вектор прямой $\vec{d} = (1; 2; 2)$.
Вектор нормали плоскости $\vec{n} = (-2; 1; 2)$.
Найти:
Синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью.
Решение:
Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью определяется через угол $\beta$ между направляющим вектором прямой $\vec{d}$ и вектором нормали плоскости $\vec{n}$. Эти углы связаны соотношением $\alpha + \beta = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ в радианах). Из этого следует, что синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и вектором нормали плоскости:
$\sin \alpha = |\cos \beta| = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}| \cdot |\vec{n}|}$
где $\vec{d} \cdot \vec{n}$ — это скалярное произведение векторов, а $|\vec{d}|$ и $|\vec{n}|$ — это их модули (длины).
1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{d}$ и $\vec{n}$:
$\vec{d} \cdot \vec{n} = (1) \cdot (-2) + (2) \cdot (1) + (2) \cdot (2) = -2 + 2 + 4 = 4$.
2. Вычислим модуль направляющего вектора $\vec{d}$:
$|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
3. Вычислим модуль вектора нормали $\vec{n}$:
$|\vec{n}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
4. Подставим полученные значения в формулу для синуса угла:
$\sin \alpha = \frac{|4|}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 11 класс, для упражнения номер 10.1 расположенного на странице 66 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №10.1 (с. 66), авторов: Смирнов (Владимир Алексеевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.