Номер 9.14, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.14. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 2 см, а высота равна 4 см (рис. 9.7). Найдите косинус угла между плоскостями $SAB$ и $SDE$.

Рис. 9.7

Дано:

$SABCDEF$ – правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания $a = 2 \text{ см}$
Высота $h = SO = 4 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$a = 0.02 \text{ м}$
$h = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Косинус угла $\alpha$ между плоскостями $(SAB)$ и $(SDE)$.

Решение:

Угол между двумя плоскостями – это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения из одной точки, причем эти перпендикуляры лежат в данных плоскостях.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны, следовательно, $AB \parallel DE$.

Плоскости $(SAB)$ и $(SDE)$ проходят через параллельные прямые $AB$ и $DE$ и имеют общую точку $S$. Следовательно, линия их пересечения – это прямая $l$, проходящая через вершину $S$ параллельно прямым $AB$ и $DE$.

Для нахождения искомого угла построим линейный угол двугранного угла. Проведем апофемы боковых граней $SAB$ и $SDE$. Пусть $M$ – середина ребра $AB$, а $N$ – середина ребра $DE$. Тогда $SM$ – высота и медиана равнобедренного треугольника $SAB$, а $SN$ – высота и медиана равнобедренного треугольника $SDE$.

Поскольку $SM \perp AB$ и $AB \parallel l$, то $SM \perp l$. Аналогично, $SN \perp DE$ и $DE \parallel l$, следовательно $SN \perp l$.

Таким образом, угол $\angle MSN$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(SAB)$ и $(SDE)$, и нам нужно найти $\cos(\angle MSN)$.

Рассмотрим треугольник $MSN$. Найдем длины его сторон.

Пусть $O$ – центр основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$). Высота пирамиды $SO = h = 4 \text{ см}$.

Отрезки $OM$ и $ON$ являются радиусами вписанной в шестиугольник окружности (апофемами шестиугольника). Длина апофемы правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$OM = ON = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ см}$.

Точки $M$, $O$, $N$ лежат на одной прямой, так как $M$ и $N$ – середины противоположных сторон. Тогда длина отрезка $MN$ равна:

$MN = OM + ON = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь найдем длины апофем пирамиды $SM$ и $SN$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $\angle SOM = 90^\circ$, так как $SO$ – высота пирамиды). По теореме Пифагора:

$SM^2 = SO^2 + OM^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19$.

$SM = \sqrt{19} \text{ см}$.

Аналогично для прямоугольного треугольника $SON$:

$SN^2 = SO^2 + ON^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19$.

$SN = \sqrt{19} \text{ см}$.

Теперь у нас есть все стороны треугольника $MSN$: $SM = \sqrt{19}$, $SN = \sqrt{19}$, $MN = 2\sqrt{3}$. Применим теорему косинусов для нахождения $\cos(\angle MSN)$:

$MN^2 = SM^2 + SN^2 - 2 \cdot SM \cdot SN \cdot \cos(\angle MSN)$

$(2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{19})^2 + (\sqrt{19})^2 - 2 \cdot \sqrt{19} \cdot \sqrt{19} \cdot \cos(\angle MSN)$

$12 = 19 + 19 - 2 \cdot 19 \cdot \cos(\angle MSN)$

$12 = 38 - 38 \cdot \cos(\angle MSN)$

$38 \cdot \cos(\angle MSN) = 38 - 12$

$38 \cdot \cos(\angle MSN) = 26$

$\cos(\angle MSN) = \frac{26}{38} = \frac{13}{19}$

Ответ: $\frac{13}{19}$.