Номер 9.11, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.11. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 1 см (рис. 9.5). Найдите косинус угла между плоскостями $ABC_1$ и $BCD_1$.

Рис. 9.5

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро куба $a = 1$ см.

Найти:

Косинус угла $\phi$ между плоскостями $(ABC_1)$ и $(BCD_1)$.

Решение:

Воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D. Направим ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy вдоль ребра DC, ось Oz вдоль ребра DD₁.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты (примем длину ребра за 1):

$A(1, 0, 0)$

$B(1, 1, 0)$

$C(0, 1, 0)$

$D_1(0, 0, 1)$

$C_1(0, 1, 1)$

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Найдем векторы нормали к плоскостям $(ABC_1)$ и $(BCD_1)$.

1. Найдем вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $(ABC_1)$.

Эта плоскость проходит через точки $A(1, 0, 0)$, $B(1, 1, 0)$ и $C_1(0, 1, 1)$.

Найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$.

$\vec{AB} = (1-1, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$

$\vec{AC_1} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$

Вектор нормали $\vec{n_1}$ перпендикулярен этим двум векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \vec{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = 1\vec{i} - 0\vec{j} + 1\vec{k}$

Таким образом, вектор нормали к плоскости $(ABC_1)$ есть $\vec{n_1} = (1, 0, 1)$.

2. Найдем вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $(BCD_1)$.

Эта плоскость проходит через точки $B(1, 1, 0)$, $C(0, 1, 0)$ и $D_1(0, 0, 1)$.

Найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{CB}$ и $\vec{CD_1}$.

$\vec{CB} = (1-0, 1-1, 0-0) = (1, 0, 0)$

$\vec{CD_1} = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ найдем как их векторное произведение:

$\vec{n_2} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = 0\vec{i} - 1\vec{j} - 1\vec{k}$

Таким образом, вектор нормали к плоскости $(BCD_1)$ есть $\vec{n_2} = (0, -1, -1)$.

3. Найдем косинус угла $\phi$ между плоскостями.

Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = -1$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \phi = \frac{|-1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $1/2$.