Номер 9.5, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9.5. Перпендикулярны ли плоскости:

a) $y + z + 2 = 0$ и $y - z + 3 = 0$;

б) $2x - 5y - z + 4 = 0$ и $3x + 2y - 4z - 5 = 0$;

в) $x - y + 3 = 0$ и $y + z - 3 = 0$?

а) $y + z + 2 = 0$ и $y - z + 3 = 0$

Дано:

Плоскость $\alpha_1$: $y + z + 2 = 0$

Плоскость $\alpha_2$: $y - z + 3 = 0$

Найти:

Определить, перпендикулярны ли плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Решение:

Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ перпендикулярны. Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

Для первой плоскости $y + z + 2 = 0$ (что эквивалентно $0x + 1y + 1z + 2 = 0$) коэффициенты: $A_1 = 0, B_1 = 1, C_1 = 1$. Нормальный вектор $\vec{n_1} = (0, 1, 1)$.

Для второй плоскости $y - z + 3 = 0$ (что эквивалентно $0x + 1y - 1z + 3 = 0$) коэффициенты: $A_2 = 0, B_2 = 1, C_2 = -1$. Нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0 + 1 - 1 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, нормальные векторы перпендикулярны, а значит, и сами плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, плоскости перпендикулярны.

б) $2x - 5y - z + 4 = 0$ и $3x + 2y - 4z - 5 = 0$

Дано:

Плоскость $\alpha_1$: $2x - 5y - z + 4 = 0$

Плоскость $\alpha_2$: $3x + 2y - 4z - 5 = 0$

Найти:

Определить, перпендикулярны ли плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности плоскостей: скалярное произведение их нормальных векторов должно быть равно нулю.

Для первой плоскости $2x - 5y - z + 4 = 0$ нормальный вектор имеет координаты, равные коэффициентам при $x, y, z$: $\vec{n_1} = (2, -5, -1)$.

Для второй плоскости $3x + 2y - 4z - 5 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, 2, -4)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 3 + (-5) \cdot 2 + (-1) \cdot (-4) = 6 - 10 + 4 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, нормальные векторы перпендикулярны, следовательно, плоскости также перпендикулярны.

Ответ: да, плоскости перпендикулярны.

в) $x - y + 3 = 0$ и $y + z - 3 = 0$

Дано:

Плоскость $\alpha_1$: $x - y + 3 = 0$

Плоскость $\alpha_2$: $y + z - 3 = 0$

Найти:

Определить, перпендикулярны ли плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Решение:

Проверим условие перпендикулярности плоскостей, вычислив скалярное произведение их нормальных векторов.

Для первой плоскости $x - y + 3 = 0$ (эквивалентно $1x - 1y + 0z + 3 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, -1, 0)$.

Для второй плоскости $y + z - 3 = 0$ (эквивалентно $0x + 1y + 1z - 3 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, 1)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 - 1 + 0 = -1$.

Так как скалярное произведение не равно нулю ($-1 \neq 0$), нормальные векторы не перпендикулярны, а значит, и плоскости не перпендикулярны.

Ответ: нет, плоскости не перпендикулярны.