Страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Каким уравнением задается плоскость в пространстве?

2. Какой вектор называется вектором нормали плоскости?

3. В каком случае два уравнения определяют параллельные плоскости?

4. Как найти косинус угла между двумя плоскостями, заданными уравнениями?

5. В каком случае две плоскости, заданные уравнениями, перпендикулярны?

6. В каком случае два уравнения определяют одну и ту же плоскость?

Плоскость в пространстве задается линейным уравнением относительно трех переменных $x, y, z$, которое называется общим уравнением плоскости:

$Ax + By + Cz + D = 0$

Здесь $A, B, C$ – координаты вектора нормали к плоскости (не все равны нулю одновременно, то есть $A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$), а $D$ – свободный член. Любая точка $(x, y, z)$, координаты которой удовлетворяют этому уравнению, лежит на данной плоскости.

Ответ: Плоскость в пространстве задается общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, где $A, B, C$ не равны нулю одновременно.

2. Вектором нормали (или нормальным вектором) плоскости называется любой ненулевой вектор, который перпендикулярен (ортогонален) этой плоскости.

Если плоскость задана общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то вектор с координатами $\vec{n} = (A, B, C)$ является вектором нормали к этой плоскости. Любой вектор, коллинеарный вектору $\vec{n}$, также будет вектором нормали данной плоскости.

Ответ: Вектором нормали плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости.

3. Два уравнения $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ определяют параллельные плоскости, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны (параллельны).

Условие коллинеарности векторов заключается в пропорциональности их соответствующих координат:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Если при этом это отношение не равно отношению свободных членов ($\frac{D_1}{D_2}$), то плоскости параллельны, но не совпадают.

Ответ: Два уравнения определяют параллельные плоскости, если коэффициенты при соответствующих координатах в этих уравнениях пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

4. Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Пусть даны две плоскости уравнениями:

$\alpha_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$

$\alpha_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

Их нормальные векторы: $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Косинус угла $\phi$ между плоскостями находится по формуле косинуса угла между векторами, которая выводится из определения скалярного произведения:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Знак модуля в числителе используется для нахождения острого угла между плоскостями (поскольку угол между плоскостями по определению находится в диапазоне от $0$ до $90$ градусов).

Ответ: Косинус угла $\phi$ между двумя плоскостями, заданными уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, находится по формуле: $\cos \phi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$.

5. Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, перпендикулярны, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ перпендикулярны (ортогональны).

Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$

В координатной форме это условие записывается так:

$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$

Ответ: Две плоскости перпендикулярны, если сумма произведений соответствующих коэффициентов при координатах в их уравнениях равна нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

6. Два уравнения $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ определяют одну и ту же плоскость (совпадают), если все коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого уравнения с одним и тем же коэффициентом пропорциональности $k \neq 0$.

То есть должно выполняться условие:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$

Это означает, что одно уравнение можно получить из другого умножением на ненулевое число, и геометрически они описывают одну и ту же плоскость.

Ответ: Два уравнения определяют одну и ту же плоскость, если все коэффициенты одного уравнения, включая свободный член, пропорциональны соответствующим коэффициентам другого уравнения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$.

9.1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку $A_0(-1: 2; 3)$, с вектором нормали $\bar{n}$, имеющим координаты $(0; -3; 2)$.

Дано:

Точка $A_0(-1; 2; 3)$

Вектор нормали $\vec{n}(0; -3; 2)$

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Уравнение плоскости, которая проходит через заданную точку $A_0(x_0; y_0; z_0)$ и перпендикулярна вектору нормали $\vec{n}(A; B; C)$, имеет следующий вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

В нашем случае координаты точки $x_0 = -1$, $y_0 = 2$, $z_0 = 3$, а координаты вектора нормали $A = 0$, $B = -3$, $C = 2$.

Подставим эти значения в формулу уравнения плоскости:

$0 \cdot (x - (-1)) + (-3) \cdot (y - 2) + 2 \cdot (z - 3) = 0$

Теперь упростим полученное выражение:

$0 \cdot (x + 1) - 3(y - 2) + 2(z - 3) = 0$

$0 - 3y + 6 + 2z - 6 = 0$

$-3y + 2z = 0$

Умножив обе части уравнения на -1, мы можем записать его в более удобном виде:

$3y - 2z = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости.

Ответ: $3y - 2z = 0$.

9.2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки $A_0(-1; 0; 0)$, $B_0(0; 2; 0)$, $C_0(0; 0; 3);$

Дано:
Точка $A_0(-1; 0; 0)$
Точка $B_0(0; 2; 0)$
Точка $C_0(0; 0; 3)$
Координаты даны в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:
Уравнение плоскости, проходящей через точки $A_0$, $B_0$, $C_0$.

Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$, можно найти, используя условие компланарности (принадлежности одной плоскости) трех векторов: $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$, где $M(x, y, z)$ — произвольная точка плоскости. Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение можно вычислить через определитель, составленный из координат этих векторов.
Уравнение плоскости имеет вид: $$ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 $$ Примем за точку $M_1$ точку $A_0(-1; 0; 0)$, за $M_2$ — точку $B_0(0; 2; 0)$, и за $M_3$ — точку $C_0(0; 0; 3)$.
Подставим координаты этих точек:
$x_1 = -1, y_1 = 0, z_1 = 0$
$x_2 = 0, y_2 = 2, z_2 = 0$
$x_3 = 0, y_3 = 0, z_3 = 3$

Найдем координаты векторов для второй и третьей строк определителя:
$\vec{A_0B_0} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (0 - (-1), 2 - 0, 0 - 0) = (1, 2, 0)$
$\vec{A_0C_0} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) = (0 - (-1), 0 - 0, 3 - 0) = (1, 0, 3)$

Теперь составим определитель, подставив в первую строку координаты вектора $\vec{A_0M} = (x-(-1), y-0, z-0)$: $$ \begin{vmatrix} x + 1 & y & z \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 0 $$ Раскроем определитель по первой строке: $$ (x+1) \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 $$ Вычислим определители второго порядка: $$ (x+1)(2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) - y(1 \cdot 3 - 0 \cdot 1) + z(1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = 0 $$ $$ (x+1)(6) - y(3) + z(-2) = 0 $$ Раскроем скобки и упростим выражение: $$ 6x + 6 - 3y - 2z = 0 $$ Запишем уравнение в общем виде $Ax + By + Cz + D = 0$: $$ 6x - 3y - 2z + 6 = 0 $$ Это и есть искомое уравнение плоскости.
Ответ: $6x - 3y - 2z + 6 = 0$.

9.3. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку $A_0(1; -2; 3)$ и параллельна координатной плоскости:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

Дано:

Точка $A_0(1; -2; 3)$.

Плоскость проходит через точку $A_0$ и параллельна одной из координатных плоскостей.

Найти:

Уравнение плоскости для каждого случая:

а) плоскость параллельна координатной плоскости $Oxy$;

б) плоскость параллельна координатной плоскости $Oxz$;

в) плоскость параллельна координатной плоскости $Oyz$.

Решение:

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $A_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Две плоскости параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны. Поэтому для нахождения уравнения искомой плоскости мы можем использовать нормальный вектор соответствующей координатной плоскости.

а) Плоскость параллельна координатной плоскости $Oxy$.

Координатная плоскость $Oxy$ задается уравнением $z = 0$. Ее нормальный вектор $\vec{n}_{Oxy} = (0; 0; 1)$.

Искомая плоскость параллельна плоскости $Oxy$, значит, ее нормальный вектор $\vec{n}$ коллинеарен вектору $\vec{n}_{Oxy}$. Можно взять $\vec{n} = (0; 0; 1)$.

Точка, через которую проходит плоскость, — $A_0(1; -2; 3)$.

Подставляем координаты точки $A_0$ и нормального вектора $\vec{n}$ в уравнение плоскости:

$0 \cdot (x - 1) + 0 \cdot (y - (-2)) + 1 \cdot (z - 3) = 0$

$z - 3 = 0$

$z = 3$

Ответ: $z = 3$.

б) Плоскость параллельна координатной плоскости $Oxz$.

Координатная плоскость $Oxz$ задается уравнением $y = 0$. Ее нормальный вектор $\vec{n}_{Oxz} = (0; 1; 0)$.

Искомая плоскость параллельна плоскости $Oxz$, значит, ее нормальный вектор $\vec{n}$ можно взять равным $\vec{n}_{Oxz} = (0; 1; 0)$.

Точка, через которую проходит плоскость, — $A_0(1; -2; 3)$.

Подставляем координаты точки $A_0$ и нормального вектора $\vec{n}$ в уравнение плоскости:

$0 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - (-2)) + 0 \cdot (z - 3) = 0$

$y + 2 = 0$

$y = -2$

Ответ: $y = -2$.

в) Плоскость параллельна координатной плоскости $Oyz$.

Координатная плоскость $Oyz$ задается уравнением $x = 0$. Ее нормальный вектор $\vec{n}_{Oyz} = (1; 0; 0)$.

Искомая плоскость параллельна плоскости $Oyz$, значит, ее нормальный вектор $\vec{n}$ можно взять равным $\vec{n}_{Oyz} = (1; 0; 0)$.

Точка, через которую проходит плоскость, — $A_0(1; -2; 3)$.

Подставляем координаты точки $A_0$ и нормального вектора $\vec{n}$ в уравнение плоскости:

$1 \cdot (x - 1) + 0 \cdot (y - (-2)) + 0 \cdot (z - 3) = 0$

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

9.4. Определите, какие из перечисленных ниже пар плоскостей параллельны между собой:

а) $x + 2y + z - 1 = 0$, $x + 2y + z + 1 = 0$;

б) $x + y + 3z - 2 = 0$, $x + y - 3z - 2 = 0$;

в) $-3x + y + 2z = 0$, $3x - y - 2z - 1 = 0$;

г) $2x + 4y + 6z - 10 = 0$, $-x - 2y - 3z + 5 = 0$.

Две плоскости, заданные общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, являются параллельными, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны.

Условие коллинеарности векторов — это пропорциональность их соответствующих координат:$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$.

Если при этом и свободные члены пропорциональны с тем же коэффициентом, то есть $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$, то плоскости совпадают. Совпадающие плоскости являются частным случаем параллельных плоскостей. Если же отношение свободных членов не равно коэффициенту пропорциональности координат, то плоскости параллельны, но не совпадают.

Проверим каждую пару плоскостей на выполнение этого условия.

а) $x + 2y + z - 1 = 0$, $x + 2y + z + 1 = 0$

Решение

Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 2, 1)$ и свободный член $D_1 = -1$.

Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 2, 1)$ и свободный член $D_2 = 1$.

Найдем отношения координат нормальных векторов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{2} = 1$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{1} = 1$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = 1$, нормальные векторы коллинеарны, а значит, плоскости параллельны.

Теперь проверим отношение свободных членов:

$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-1}{1} = -1$

Поскольку коэффициент пропорциональности координат ($1$) не равен отношению свободных членов ($-1$), плоскости параллельны и не совпадают.

Ответ: Плоскости параллельны.

б) $x + y + 3z - 2 = 0$, $x + y - 3z - 2 = 0$

Решение

Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, 3)$.

Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (1, 1, -3)$.

Найдем отношения координат нормальных векторов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{1} = 1$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{3}{-3} = -1$

Так как отношения координат не равны между собой ($1 = 1 \neq -1$), нормальные векторы не являются коллинеарными.

Ответ: Плоскости не параллельны.

в) $-3x + y + 2z = 0$, $3x - y - 2z - 1 = 0$

Решение

Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (-3, 1, 2)$ и $D_1 = 0$.

Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, -1, -2)$ и $D_2 = -1$.

Найдем отношения координат нормальных векторов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{-3}{3} = -1$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{-1} = -1$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{2}{-2} = -1$

Отношения равны, коэффициент пропорциональности $k = -1$. Следовательно, нормальные векторы коллинеарны, и плоскости параллельны.

Проверим, совпадают ли плоскости. Для этого сравним $D_1$ и $k \cdot D_2$.

$D_1 = 0$, $k \cdot D_2 = (-1) \cdot (-1) = 1$.

Поскольку $D_1 \neq k \cdot D_2$ ($0 \neq 1$), плоскости не совпадают.

Ответ: Плоскости параллельны.

г) $2x + 4y + 6z - 10 = 0$, $-x - 2y - 3z + 5 = 0$

Решение

Для первой плоскости нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, 4, 6)$ и $D_1 = -10$.

Для второй плоскости нормальный вектор $\vec{n_2} = (-1, -2, -3)$ и $D_2 = 5$.

Найдем отношения координат нормальных векторов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{-1} = -2$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{4}{-2} = -2$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{6}{-3} = -2$

Отношения равны, коэффициент пропорциональности $k = -2$. Нормальные векторы коллинеарны, значит, плоскости параллельны.

Проверим отношение свободных членов:

$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-10}{5} = -2$

Так как отношение свободных членов равно коэффициенту пропорциональности координат ($k=-2$), то все коэффициенты уравнений пропорциональны. Это означает, что уравнения описывают одну и ту же плоскость.

Ответ: Плоскости параллельны (совпадают).

9.5. Перпендикулярны ли плоскости:

a) $y + z + 2 = 0$ и $y - z + 3 = 0$;

б) $2x - 5y - z + 4 = 0$ и $3x + 2y - 4z - 5 = 0$;

в) $x - y + 3 = 0$ и $y + z - 3 = 0$?

а) $y + z + 2 = 0$ и $y - z + 3 = 0$

Дано:

Плоскость $\alpha_1$: $y + z + 2 = 0$

Плоскость $\alpha_2$: $y - z + 3 = 0$

Найти:

Определить, перпендикулярны ли плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Решение:

Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ перпендикулярны. Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

Для первой плоскости $y + z + 2 = 0$ (что эквивалентно $0x + 1y + 1z + 2 = 0$) коэффициенты: $A_1 = 0, B_1 = 1, C_1 = 1$. Нормальный вектор $\vec{n_1} = (0, 1, 1)$.

Для второй плоскости $y - z + 3 = 0$ (что эквивалентно $0x + 1y - 1z + 3 = 0$) коэффициенты: $A_2 = 0, B_2 = 1, C_2 = -1$. Нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0 + 1 - 1 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, нормальные векторы перпендикулярны, а значит, и сами плоскости перпендикулярны.

Ответ: да, плоскости перпендикулярны.

б) $2x - 5y - z + 4 = 0$ и $3x + 2y - 4z - 5 = 0$

Дано:

Плоскость $\alpha_1$: $2x - 5y - z + 4 = 0$

Плоскость $\alpha_2$: $3x + 2y - 4z - 5 = 0$

Найти:

Определить, перпендикулярны ли плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Решение:

Используем условие перпендикулярности плоскостей: скалярное произведение их нормальных векторов должно быть равно нулю.

Для первой плоскости $2x - 5y - z + 4 = 0$ нормальный вектор имеет координаты, равные коэффициентам при $x, y, z$: $\vec{n_1} = (2, -5, -1)$.

Для второй плоскости $3x + 2y - 4z - 5 = 0$ нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, 2, -4)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 3 + (-5) \cdot 2 + (-1) \cdot (-4) = 6 - 10 + 4 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, нормальные векторы перпендикулярны, следовательно, плоскости также перпендикулярны.

Ответ: да, плоскости перпендикулярны.

в) $x - y + 3 = 0$ и $y + z - 3 = 0$

Дано:

Плоскость $\alpha_1$: $x - y + 3 = 0$

Плоскость $\alpha_2$: $y + z - 3 = 0$

Найти:

Определить, перпендикулярны ли плоскости $\alpha_1$ и $\alpha_2$.

Решение:

Проверим условие перпендикулярности плоскостей, вычислив скалярное произведение их нормальных векторов.

Для первой плоскости $x - y + 3 = 0$ (эквивалентно $1x - 1y + 0z + 3 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, -1, 0)$.

Для второй плоскости $y + z - 3 = 0$ (эквивалентно $0x + 1y + 1z - 3 = 0$) нормальный вектор $\vec{n_2} = (0, 1, 1)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 - 1 + 0 = -1$.

Так как скалярное произведение не равно нулю ($-1 \neq 0$), нормальные векторы не перпендикулярны, а значит, и плоскости не перпендикулярны.

Ответ: нет, плоскости не перпендикулярны.

9.6. Найдите косинус угла между плоскостями, заданными уравнениями:

a) $x + y + z - 1 = 0$, $x - y + z + 1 = 0$;

б) $2x - 3y + 6z - 5 = 0$, $4x + 4y + 2z + 7 = 0$.

а)

Дано:

Уравнение первой плоскости: $x + y + z - 1 = 0$.

Уравнение второй плоскости: $x - y + z + 1 = 0$.

Найти:

Косинус угла $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Угол между двумя плоскостями, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, равен углу между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$.

Косинус этого угла вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Для первой плоскости $x + y + z - 1 = 0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.

Для второй плоскости $x - y + z + 1 = 0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec{n_2} = (1, -1, 1)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1 - 1 + 1 = 1$.

Найдем модули (длины) нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Подставим полученные значения в формулу:

$\cos \phi = \frac{|1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б)

Дано:

Уравнение первой плоскости: $2x - 3y + 6z - 5 = 0$.

Уравнение второй плоскости: $4x + 4y + 2z + 7 = 0$.

Найти:

Косинус угла $\phi$ между плоскостями.

Решение:

Для первой плоскости $2x - 3y + 6z - 5 = 0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec{n_1} = (2, -3, 6)$.

Для второй плоскости $4x + 4y + 2z + 7 = 0$ нормальный вектор имеет координаты $\vec{n_2} = (4, 4, 2)$.

Найдем скалярное произведение нормальных векторов:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 4 + (-3) \cdot 4 + 6 \cdot 2 = 8 - 12 + 12 = 8$.

Найдем модули нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|8|}{7 \cdot 6} = \frac{8}{42} = \frac{4}{21}$.

Ответ: $\frac{4}{21}$.

9.7. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$, у которого $AB=4, AD=3, AA_1=3$, найдите косинус угла между плоскостями $ABC$ и:

а) $ABC_1$;

б) $ADC_1$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Направим ось Ox вдоль ребра $AB$, ось Oy вдоль ребра $AD$ и ось Oz вдоль ребра $AA_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 4$

$AD = 3$

$AA_1 = 3$

Данные представлены в условных единицах длины, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

a) косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ABC_1$

б) косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ADC_1$

Решение:

В выбранной системе координат вершины параллелепипеда, необходимые для решения, имеют следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$B(4, 0, 0)$

$D(0, 3, 0)$

$C_1(4, 3, 3)$

Косинус угла $\phi$ между двумя плоскостями можно найти по формуле, использующей векторы нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ к этим плоскостям:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Плоскость $ABC$ совпадает с плоскостью $Oxy$, ее уравнение $z=0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

a) ABC₁

Найдем косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ABC_1$. Плоскость $ABC_1$ проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$ и $C_1(4, 3, 3)$. Два вектора, лежащие в этой плоскости, — это $\vec{AB} = (4-0, 0-0, 0-0) = (4, 0, 0)$ и $\vec{AC_1} = (4-0, 3-0, 3-0) = (4, 3, 3)$.

Вектор нормали $\vec{n}_{ABC_1}$ к плоскости $ABC_1$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{n}_{ABC_1} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 3 - 0 \cdot 3) - \vec{j}(4 \cdot 3 - 0 \cdot 4) + \vec{k}(4 \cdot 3 - 0 \cdot 4) = (0, -12, 12)$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 12: $\vec{n'}_{ABC_1} = (0, -1, 1)$.

Теперь найдем косинус угла $\phi_a$ между плоскостями:

$\cos \phi_a = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n'}_{ABC_1}|}{|\vec{n}_{ABC}| \cdot |\vec{n'}_{ABC_1}|} = \frac{|(0, 0, 1) \cdot (0, -1, 1)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{|0 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1|}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) ADC₁

Найдем косинус угла между плоскостями $ABC$ и $ADC_1$. Вектор нормали к плоскости $ABC$ нам известен: $\vec{n}_{ABC} = (0, 0, 1)$.

Плоскость $ADC_1$ проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $D(0, 3, 0)$ и $C_1(4, 3, 3)$. Два вектора, лежащие в этой плоскости, — это $\vec{AD} = (0-0, 3-0, 0-0) = (0, 3, 0)$ и $\vec{AC_1} = (4-0, 3-0, 3-0) = (4, 3, 3)$.

Вектор нормали $\vec{n}_{ADC_1}$ к плоскости $ADC_1$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{n}_{ADC_1} = \vec{AD} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 3 - 0 \cdot 3) - \vec{j}(0 \cdot 3 - 0 \cdot 4) + \vec{k}(0 \cdot 3 - 3 \cdot 4) = (9, 0, -12)$.

Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты на 3: $\vec{n'}_{ADC_1} = (3, 0, -4)$.

Теперь найдем косинус угла $\phi_b$ между плоскостями:

$\cos \phi_b = \frac{|\vec{n}_{ABC} \cdot \vec{n'}_{ADC_1}|}{|\vec{n}_{ABC}| \cdot |\vec{n'}_{ADC_1}|} = \frac{|(0, 0, 1) \cdot (3, 0, -4)|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{3^2+0^2+(-4)^2}} = \frac{|0 \cdot 3 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-4)|}{1 \cdot \sqrt{9+16}} = \frac{|-4|}{1 \cdot \sqrt{25}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$

9.8. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=4, AD=3, AA_1=3$, найдите косинус угла между плоскостями $BCD_1$ и $ADC_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 4$

$AD = 3$

$AA_1 = 3$

Найти:

Косинус угла между плоскостями $BCD_1$ и $ADC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Исходя из длин ребер $AD=3$, $AB=4$ и $AA_1=3$, определим координаты вершин, необходимых для построения плоскостей:

$A(0, 0, 0)$

$B(0, 4, 0)$

$D(3, 0, 0)$

$C(3, 4, 0)$ (так как основание - прямоугольник, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$)

$C_1(3, 4, 3)$

$D_1(3, 0, 3)$

Угол между двумя плоскостями равен углу между их векторами нормали. Найдем векторы нормали для плоскостей $BCD_1$ и $ADC_1$.

1. Нахождение вектора нормали к плоскости $BCD_1$

Данная плоскость проходит через точки $B(0, 4, 0)$, $C(3, 4, 0)$ и $D_1(3, 0, 3)$. Найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{CB}$ и $\vec{CD_1}$.

$\vec{CB} = (0-3, 4-4, 0-0) = (-3, 0, 0)$

$\vec{CD_1} = (3-3, 0-4, 3-0) = (0, -4, 3)$

Вектор нормали $\vec{n_1}$ является векторным произведением этих векторов:

$\vec{n_1} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 3 - 0 \cdot (-4)) - \vec{j}((-3) \cdot 3 - 0 \cdot 0) + \vec{k}((-3) \cdot (-4) - 0 \cdot 0) = 0\vec{i} + 9\vec{j} + 12\vec{k}$

Итак, $\vec{n_1} = (0, 9, 12)$.

2. Нахождение вектора нормали к плоскости $ADC_1$

Данная плоскость проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $D(3, 0, 0)$ и $C_1(3, 4, 3)$. Найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AD}$ и $\vec{AC_1}$.

$\vec{AD} = (3-0, 0-0, 0-0) = (3, 0, 0)$

$\vec{AC_1} = (3-0, 4-0, 3-0) = (3, 4, 3)$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ является векторным произведением этих векторов:

$\vec{n_2} = \vec{AD} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 3 - 0 \cdot 4) - \vec{j}(3 \cdot 3 - 0 \cdot 3) + \vec{k}(3 \cdot 4 - 0 \cdot 3) = 0\vec{i} - 9\vec{j} + 12\vec{k}$

Итак, $\vec{n_2} = (0, -9, 12)$.

3. Вычисление косинуса угла между плоскостями

Косинус угла $\alpha$ между плоскостями вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(0) + (9)(-9) + (12)(12) = 0 - 81 + 144 = 63$

Найдем модули (длины) векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 9^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 81 + 144} = \sqrt{225} = 15$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + (-9)^2 + 12^2} = \sqrt{0 + 81 + 144} = \sqrt{225} = 15$

Подставим найденные значения в формулу:

$\cos \alpha = \frac{|63|}{15 \cdot 15} = \frac{63}{225}$

Сократим дробь на 9:

$\cos \alpha = \frac{63 \div 9}{225 \div 9} = \frac{7}{25}$

Ответ: $7/25$.