Вопросы, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Каким уравнением задается плоскость в пространстве?

2. Какой вектор называется вектором нормали плоскости?

3. В каком случае два уравнения определяют параллельные плоскости?

4. Как найти косинус угла между двумя плоскостями, заданными уравнениями?

5. В каком случае две плоскости, заданные уравнениями, перпендикулярны?

6. В каком случае два уравнения определяют одну и ту же плоскость?

Плоскость в пространстве задается линейным уравнением относительно трех переменных $x, y, z$, которое называется общим уравнением плоскости:

$Ax + By + Cz + D = 0$

Здесь $A, B, C$ – координаты вектора нормали к плоскости (не все равны нулю одновременно, то есть $A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$), а $D$ – свободный член. Любая точка $(x, y, z)$, координаты которой удовлетворяют этому уравнению, лежит на данной плоскости.

Ответ: Плоскость в пространстве задается общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, где $A, B, C$ не равны нулю одновременно.

2. Вектором нормали (или нормальным вектором) плоскости называется любой ненулевой вектор, который перпендикулярен (ортогонален) этой плоскости.

Если плоскость задана общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, то вектор с координатами $\vec{n} = (A, B, C)$ является вектором нормали к этой плоскости. Любой вектор, коллинеарный вектору $\vec{n}$, также будет вектором нормали данной плоскости.

Ответ: Вектором нормали плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости.

3. Два уравнения $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ определяют параллельные плоскости, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ коллинеарны (параллельны).

Условие коллинеарности векторов заключается в пропорциональности их соответствующих координат:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$

Если при этом это отношение не равно отношению свободных членов ($\frac{D_1}{D_2}$), то плоскости параллельны, но не совпадают.

Ответ: Два уравнения определяют параллельные плоскости, если коэффициенты при соответствующих координатах в этих уравнениях пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

4. Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Пусть даны две плоскости уравнениями:

$\alpha_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$

$\alpha_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

Их нормальные векторы: $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Косинус угла $\phi$ между плоскостями находится по формуле косинуса угла между векторами, которая выводится из определения скалярного произведения:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Знак модуля в числителе используется для нахождения острого угла между плоскостями (поскольку угол между плоскостями по определению находится в диапазоне от $0$ до $90$ градусов).

Ответ: Косинус угла $\phi$ между двумя плоскостями, заданными уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, находится по формуле: $\cos \phi = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$.

5. Две плоскости, заданные уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, перпендикулярны, если их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ перпендикулярны (ортогональны).

Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$

В координатной форме это условие записывается так:

$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$

Ответ: Две плоскости перпендикулярны, если сумма произведений соответствующих коэффициентов при координатах в их уравнениях равна нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.

6. Два уравнения $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ определяют одну и ту же плоскость (совпадают), если все коэффициенты одного уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам другого уравнения с одним и тем же коэффициентом пропорциональности $k \neq 0$.

То есть должно выполняться условие:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$

Это означает, что одно уравнение можно получить из другого умножением на ненулевое число, и геометрически они описывают одну и ту же плоскость.

Ответ: Два уравнения определяют одну и ту же плоскость, если все коэффициенты одного уравнения, включая свободный член, пропорциональны соответствующим коэффициентам другого уравнения: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$.