Номер 8.13, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 2 см (рис. 8.7). Найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Рис. 8.7

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер $a = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.02$ м.
(Для нахождения косинуса угла перевод в СИ не является обязательным, так как отношение длин не зависит от единиц измерения, поэтому для удобства в вычислениях будем использовать значение 2).

Найти:

$\cos \alpha$, где $\alpha$ - угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Направим ось Ox вдоль ребра AB, а ось Oz — вдоль бокового ребра $AA_1$. Таким образом, плоскость нижнего основания призмы будет совпадать с плоскостью Oxy.

Так как призма правильная и все ее ребра равны 2, сторона основания $a=2$ и высота призмы $h=2$. Угол между смежными сторонами основания в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.

Определим координаты вершин, необходимых для нахождения векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.
1. Точка A является началом координат: $A(0; 0; 0)$.
2. Точка B лежит на оси Ox на расстоянии 2 от начала координат: $B(2; 0; 0)$.
3. Точка $B_1$ — это вершина в верхнем основании, лежащая над B. Ее высота по оси Oz равна 2: $B_1(2; 0; 2)$.
4. Для нахождения координат точки C, рассмотрим ее проекцию на плоскость Oxy. Вектор $\vec{BC}$ имеет длину 2. Угол $\angle ABC = 120^\circ$. Так как ось Ox направлена вдоль AB, то вектор $\vec{BC}$ образует с положительным направлением оси Ox угол, равный $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Координаты точки C вычисляются следующим образом:
$x_C = x_B + |BC| \cdot \cos(60^\circ) = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$
$y_C = y_B + |BC| \cdot \sin(60^\circ) = 0 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$z_C = 0$ (так как C находится в нижнем основании).
Получаем координаты точки C: $C(3; \sqrt{3}; 0)$.
5. Точка $C_1$ лежит в верхнем основании над точкой C: $C_1(3; \sqrt{3}; 2)$.

Теперь найдем координаты векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$, которые являются направляющими векторами для заданных прямых.
Вектор $\vec{AB_1}$ имеет координаты, равные разности координат точек $B_1$ и $A$:
$\vec{AB_1} = \{x_{B_1} - x_A; y_{B_1} - y_A; z_{B_1} - z_A\} = \{2 - 0; 0 - 0; 2 - 0\} = \{2; 0; 2\}$.
Вектор $\vec{BC_1}$ имеет координаты, равные разности координат точек $C_1$ и $B$:
$\vec{BC_1} = \{x_{C_1} - x_B; y_{C_1} - y_B; z_{C_1} - z_B\} = \{3 - 2; \sqrt{3} - 0; 2 - 0\} = \{1; \sqrt{3}; 2\}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$. Он вычисляется по формуле скалярного произведения векторов:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}|}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{BC_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot 2 = 2 + 0 + 4 = 6$.

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{AB_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 3 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \alpha = \frac{|6|}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{6}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Поскольку скалярное произведение положительно ($6 > 0$), угол между векторами является острым, и его косинус равен косинусу угла между прямыми.

Ответ: $\frac{3}{4}$.