Номер 8.9, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.9. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ стороны основания и высота равны 4 см. Точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $SD$.

Дано

SABCD — правильная четырехугольная пирамида.

Сторона основания $AB = BC = CD = DA = 4$ см.

Высота пирамиды $SO = 4$ см (где O - центр основания).

Точка E — середина ребра SB.

Все данные представлены в сантиметрах. Для решения задачи переводить их в систему СИ не обязательно, так как искомая величина (косинус угла) является безразмерной. Будем использовать числовые значения 4.

Найти:

Косинус угла между прямыми AE и SD.

Решение

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в центре основания пирамиды, точке O. Направим ось Ox параллельно стороне AD, ось Oy параллельно стороне AB, а ось Oz — вдоль высоты SO.

В этой системе координат найдем координаты вершин пирамиды и точки E.

Поскольку основание — квадрат со стороной 4, а O — его центр, то координаты вершин основания будут:

A(-2; -2; 0)

B(2; -2; 0)

C(2; 2; 0)

D(-2; 2; 0)

Высота пирамиды равна 4, значит, вершина S имеет координаты S(0; 0; 4).

Точка E является серединой ребра SB. Найдем ее координаты как полусумму координат точек S и B:

$x_E = \frac{x_S + x_B}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1$

$y_E = \frac{y_S + y_B}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = -1$

$z_E = \frac{z_S + z_B}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2$

Таким образом, координаты точки E(1; -1; 2).

Теперь найдем направляющие векторы для прямых AE и SD.

Для прямой AE возьмем вектор $\vec{AE}$:

$\vec{AE} = \{x_E - x_A; y_E - y_A; z_E - z_A\} = \{1 - (-2); -1 - (-2); 2 - 0\} = \{3; 1; 2\}$

Для прямой SD возьмем вектор $\vec{SD}$:

$\vec{SD} = \{x_D - x_S; y_D - y_S; z_D - z_S\} = \{-2 - 0; 2 - 0; 0 - 4\} = \{-2; 2; -4\}$

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{SD}$:

$\vec{AE} \cdot \vec{SD} = 3 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = -6 + 2 - 8 = -12$

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AE}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

$|\vec{SD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Теперь вычислим косинус угла между векторами:

$\cos \alpha = \frac{-12}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{-6}{\sqrt{14 \cdot 6}} = \frac{-6}{\sqrt{84}} = \frac{-6}{\sqrt{4 \cdot 21}} = \frac{-6}{2\sqrt{21}} = \frac{-3}{\sqrt{21}}$

Рационализируем знаменатель:

$\cos \alpha = -\frac{3\sqrt{21}}{21} = -\frac{\sqrt{21}}{7}$

Угол между прямыми по определению считается острым (от 0° до 90°), поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами.

$\cos(\angle(AE, SD)) = |\cos \alpha| = |-\frac{\sqrt{21}}{7}| = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$