Номер 8.14, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.14. Повторите определение угла между плоскостями.

Повторите определение угла между плоскостями.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это величина, характеризующая их взаимное расположение в пространстве. Существует два основных способа определения этого угла: геометрический и аналитический.

Геометрическое определение

Две пересекающиеся плоскости образуют в пространстве четыре двугранных угла. Двугранный угол — это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной общей прямой, которая называется ребром двугранного угла. Углом между плоскостями принято считать наименьший из образованных двугранных углов.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Для построения линейного угла необходимо выполнить следующие шаги:

1. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ (ребро двугранного угла).

2. На прямой $c$ выбирается произвольная точка $O$.

3. В плоскости $\alpha$ через точку $O$ проводится прямая $a$, перпендикулярная прямой $c$.

4. В плоскости $\beta$ через ту же точку $O$ проводится прямая $b$, также перпендикулярная прямой $c$.

Угол между прямыми $a$ и $b$ и называется линейным углом двугранного угла. Его величина не зависит от выбора точки $O$ на ребре $c$.

Таким образом, углом между двумя пересекающимися плоскостями называется угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к линии их пересечения через одну и ту же ее точку. По определению, величина этого угла находится в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если плоскости параллельны, угол между ними равен $0^\circ$. Если плоскости перпендикулярны, угол равен $90^\circ$.

Аналитическое определение (через векторы нормали)

Угол между двумя плоскостями равен острому углу между их векторами нормали. Вектор нормали (или нормальный вектор) — это любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Если плоскости заданы уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, то их нормальные векторы имеют координаты $\vec{n_1} = \{A_1; B_1; C_1\}$ и $\vec{n_2} = \{A_2; B_2; C_2\}$. Косинус угла $\varphi$ между плоскостями вычисляется по формуле скалярного произведения векторов:

$ \cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} $

Использование модуля скалярного произведения в числителе гарантирует, что будет найден косинус острого (или прямого) угла, что соответствует геометрическому определению.

Ответ: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина наименьшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Он равен углу между двумя прямыми, которые лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения, будучи проведенными из одной и той же точки на этой линии. Величина угла между плоскостями может принимать значения от $0^\circ$ до $90^\circ$.