Вопрос?, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Какой угол между двумя координатными плоскостями?

Решение

В трехмерном пространстве используется прямоугольная (декартова) система координат, которая состоит из трех взаимно перпендикулярных осей: $Ox$ (ось абсцисс), $Oy$ (ось ординат) и $Oz$ (ось аппликат). Эти три оси, пересекаясь, образуют три координатные плоскости:

• Плоскость $Oxy$, проходящая через оси $Ox$ и $Oy$. Уравнение этой плоскости: $z=0$.
• Плоскость $Oxz$, проходящая через оси $Ox$ и $Oz$. Уравнение этой плоскости: $y=0$.
• Плоскость $Oyz$, проходящая через оси $Oy$ и $Oz$. Уравнение этой плоскости: $x=0$.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это величина двугранного угла, образованного этими плоскостями. Он измеряется линейным углом, который получается при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (линии пересечения плоскостей).

Рассмотрим, например, угол между плоскостями $Oxy$ и $Oxz$.

1. Линией пересечения (ребром двугранного угла) этих двух плоскостей является ось $Ox$.

2. Построим плоскость, перпендикулярную ребру $Ox$. Такой плоскостью является, например, плоскость $Oyz$ (ее уравнение $x=0$).

3. Эта перпендикулярная плоскость ($Oyz$) пересекает плоскость $Oxy$ по прямой, которая совпадает с осью $Oy$.

4. Эта же перпендикулярная плоскость ($Oyz$) пересекает плоскость $Oxz$ по прямой, которая совпадает с осью $Oz$.

5. Следовательно, угол между плоскостями $Oxy$ и $Oxz$ равен углу между линиями их пересечения с плоскостью $Oyz$, то есть углу между осями $Oy$ и $Oz$.

По определению прямоугольной системы координат, оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ взаимно перпендикулярны. Значит, угол между осями $Oy$ и $Oz$ составляет $90^\circ$.

Таким образом, угол между координатными плоскостями $Oxy$ и $Oxz$ равен $90^\circ$.

Аналогично можно доказать, что углы между другими парами координатных плоскостей также равны $90^\circ$:

• Угол между $Oxy$ и $Oyz$: линия пересечения — ось $Oy$. Перпендикулярные к ней лучи в этих плоскостях — это оси $Ox$ и $Oz$. Угол между $Ox$ и $Oz$ равен $90^\circ$.
• Угол между $Oxz$ и $Oyz$: линия пересечения — ось $Oz$. Перпендикулярные к ней лучи в этих плоскостях — это оси $Ox$ и $Oy$. Угол между $Ox$ и $Oy$ равен $90^\circ$.

Другой способ — использование векторов нормалей. Угол между плоскостями равен углу между их векторами нормали.

• Нормаль к плоскости $Oxy$ ($z=0$) — вектор $\vec{n}_1 = (0, 0, 1)$.
• Нормаль к плоскости $Oxz$ ($y=0$) — вектор $\vec{n}_2 = (0, 1, 0)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}} = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0$

Если $\cos \alpha = 0$, то угол $\alpha = 90^\circ$.

Все три координатные плоскости попарно перпендикулярны друг другу.

Ответ: Угол между любыми двумя координатными плоскостями равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Они взаимно перпендикулярны.