Страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки $A_0(a; 0; 0)$, $C_0(0; 0; c)$ и параллельной оси $Oy$, где $a, c$ – числа, отличные от нуля.

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки $B_0(0; b; 0)$, $C_0(0; 0; c)$ и параллельной оси $Ox$, где $b, c$ – числа, отличные от нуля.

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки A₀(a; 0; 0), C₀(0; 0; c) и параллельной оси Oy, где a, c – числа, отличные от нуля.

Дано:
Точка $A_0(a; 0; 0)$
Точка $C_0(0; 0; c)$
Плоскость параллельна оси $Oy$
$a \neq 0, c \neq 0$

Найти:
Уравнение искомой плоскости.

Решение:
Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, можно записать с помощью определителя: $ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0 $

В нашем случае известны две точки, принадлежащие плоскости: $M_1 = A_0(a; 0; 0)$ и $M_2 = C_0(0; 0; c)$. Поскольку плоскость параллельна оси $Oy$, ее направляющий вектор $\vec{j}=(0; 1; 0)$ параллелен этой плоскости. Это означает, что мы можем взять любую точку $M_3$ такую, что вектор $\vec{M_1M_3}$ будет коллинеарен вектору $\vec{j}$. Например, возьмем вектор $\vec{v} = (0; 1; 0)$ в качестве третьего вектора для определителя. Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку $A_0(a; 0; 0)$ и параллельной векторам $\vec{A_0C_0}$ и $\vec{j}$, можно найти из условия компланарности векторов $\vec{A_0M}$, $\vec{A_0C_0}$ и $\vec{j}$, где $M(x;y;z)$ — произвольная точка плоскости.

Найдем координаты векторов:
$\vec{A_0M} = (x-a; y-0; z-0) = (x-a; y; z)$
$\vec{A_0C_0} = (0-a; 0-0; c-0) = (-a; 0; c)$
$\vec{j} = (0; 1; 0)$

Смешанное произведение этих векторов должно быть равно нулю: $ (\vec{A_0M}, \vec{A_0C_0}, \vec{j}) = 0 $
$ \begin{vmatrix} x-a & y & z \\ -a & 0 & c \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по первой строке:
$ (x-a) \begin{vmatrix} 0 & c \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} -a & c \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} -a & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 $
$ (x-a)(0 \cdot 0 - c \cdot 1) - y(-a \cdot 0 - c \cdot 0) + z(-a \cdot 1 - 0 \cdot 0) = 0 $
$ (x-a)(-c) - y(0) + z(-a) = 0 $
$ -cx + ac - az = 0 $
$ cx + az = ac $

Поскольку $a \neq 0$ и $c \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $ac$:
$ \frac{cx}{ac} + \frac{az}{ac} = \frac{ac}{ac} $
$ \frac{x}{a} + \frac{z}{c} = 1 $

Это уравнение плоскости в отрезках. Оно показывает, что плоскость отсекает на оси $Ox$ отрезок длиной $a$, на оси $Oz$ — отрезок длиной $c$ и параллельна оси $Oy$.

Ответ: $ \frac{x}{a} + \frac{z}{c} = 1 $ или в общем виде $cx + az - ac = 0$.

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки B₀(0; b; 0), C₀(0; 0; c) и параллельной оси Ox, где b, c – числа, отличные от нуля.

Дано:
Точка $B_0(0; b; 0)$
Точка $C_0(0; 0; c)$
Плоскость параллельна оси $Ox$
$b \neq 0, c \neq 0$

Найти:
Уравнение искомой плоскости.

Решение:
Решим задачу аналогично предыдущей. Искомая плоскость проходит через точку $B_0(0; b; 0)$ и параллельна вектору $\vec{B_0C_0}$ и направляющему вектору оси $Ox$, то есть $\vec{i}=(1; 0; 0)$.

Пусть $M(x;y;z)$ — произвольная точка плоскости. Найдем координаты векторов:
$\vec{B_0M} = (x-0; y-b; z-0) = (x; y-b; z)$
$\vec{B_0C_0} = (0-0; 0-b; c-0) = (0; -b; c)$
$\vec{i} = (1; 0; 0)$

Для того чтобы точка $M$ лежала в искомой плоскости, векторы $\vec{B_0M}$, $\vec{B_0C_0}$ и $\vec{i}$ должны быть компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю: $ (\vec{B_0M}, \vec{B_0C_0}, \vec{i}) = 0 $
$ \begin{vmatrix} x & y-b & z \\ 0 & -b & c \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по первой строке:
$ x \begin{vmatrix} -b & c \\ 0 & 0 \end{vmatrix} - (y-b) \begin{vmatrix} 0 & c \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 0 & -b \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 $
$ x(-b \cdot 0 - c \cdot 0) - (y-b)(0 \cdot 0 - c \cdot 1) + z(0 \cdot 0 - (-b) \cdot 1) = 0 $
$ x(0) - (y-b)(-c) + z(b) = 0 $
$ c(y-b) + bz = 0 $
$ cy - bc + bz = 0 $
$ cy + bz = bc $

Так как по условию $b \neq 0$ и $c \neq 0$, разделим обе части уравнения на $bc$:
$ \frac{cy}{bc} + \frac{bz}{bc} = \frac{bc}{bc} $
$ \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 $

Это уравнение плоскости в отрезках, которая отсекает на оси $Oy$ отрезок $b$, на оси $Oz$ — отрезок $c$ и параллельна оси $Ox$.

Ответ: $ \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 $ или в общем виде $cy + bz - bc = 0$.

Какой угол между двумя координатными плоскостями?

Решение

В трехмерном пространстве используется прямоугольная (декартова) система координат, которая состоит из трех взаимно перпендикулярных осей: $Ox$ (ось абсцисс), $Oy$ (ось ординат) и $Oz$ (ось аппликат). Эти три оси, пересекаясь, образуют три координатные плоскости:

• Плоскость $Oxy$, проходящая через оси $Ox$ и $Oy$. Уравнение этой плоскости: $z=0$.
• Плоскость $Oxz$, проходящая через оси $Ox$ и $Oz$. Уравнение этой плоскости: $y=0$.
• Плоскость $Oyz$, проходящая через оси $Oy$ и $Oz$. Уравнение этой плоскости: $x=0$.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это величина двугранного угла, образованного этими плоскостями. Он измеряется линейным углом, который получается при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (линии пересечения плоскостей).

Рассмотрим, например, угол между плоскостями $Oxy$ и $Oxz$.

1. Линией пересечения (ребром двугранного угла) этих двух плоскостей является ось $Ox$.

2. Построим плоскость, перпендикулярную ребру $Ox$. Такой плоскостью является, например, плоскость $Oyz$ (ее уравнение $x=0$).

3. Эта перпендикулярная плоскость ($Oyz$) пересекает плоскость $Oxy$ по прямой, которая совпадает с осью $Oy$.

4. Эта же перпендикулярная плоскость ($Oyz$) пересекает плоскость $Oxz$ по прямой, которая совпадает с осью $Oz$.

5. Следовательно, угол между плоскостями $Oxy$ и $Oxz$ равен углу между линиями их пересечения с плоскостью $Oyz$, то есть углу между осями $Oy$ и $Oz$.

По определению прямоугольной системы координат, оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ взаимно перпендикулярны. Значит, угол между осями $Oy$ и $Oz$ составляет $90^\circ$.

Таким образом, угол между координатными плоскостями $Oxy$ и $Oxz$ равен $90^\circ$.

Аналогично можно доказать, что углы между другими парами координатных плоскостей также равны $90^\circ$:

• Угол между $Oxy$ и $Oyz$: линия пересечения — ось $Oy$. Перпендикулярные к ней лучи в этих плоскостях — это оси $Ox$ и $Oz$. Угол между $Ox$ и $Oz$ равен $90^\circ$.
• Угол между $Oxz$ и $Oyz$: линия пересечения — ось $Oz$. Перпендикулярные к ней лучи в этих плоскостях — это оси $Ox$ и $Oy$. Угол между $Ox$ и $Oy$ равен $90^\circ$.

Другой способ — использование векторов нормалей. Угол между плоскостями равен углу между их векторами нормали.

• Нормаль к плоскости $Oxy$ ($z=0$) — вектор $\vec{n}_1 = (0, 0, 1)$.
• Нормаль к плоскости $Oxz$ ($y=0$) — вектор $\vec{n}_2 = (0, 1, 0)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0}{\sqrt{0^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}} = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0$

Если $\cos \alpha = 0$, то угол $\alpha = 90^\circ$.

Все три координатные плоскости попарно перпендикулярны друг другу.

Ответ: Угол между любыми двумя координатными плоскостями равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Они взаимно перпендикулярны.