Страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 2 см (рис. 8.7). Найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Рис. 8.7

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер $a = 2$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.02$ м.
(Для нахождения косинуса угла перевод в СИ не является обязательным, так как отношение длин не зависит от единиц измерения, поэтому для удобства в вычислениях будем использовать значение 2).

Найти:

$\cos \alpha$, где $\alpha$ - угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Направим ось Ox вдоль ребра AB, а ось Oz — вдоль бокового ребра $AA_1$. Таким образом, плоскость нижнего основания призмы будет совпадать с плоскостью Oxy.

Так как призма правильная и все ее ребра равны 2, сторона основания $a=2$ и высота призмы $h=2$. Угол между смежными сторонами основания в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.

Определим координаты вершин, необходимых для нахождения векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.
1. Точка A является началом координат: $A(0; 0; 0)$.
2. Точка B лежит на оси Ox на расстоянии 2 от начала координат: $B(2; 0; 0)$.
3. Точка $B_1$ — это вершина в верхнем основании, лежащая над B. Ее высота по оси Oz равна 2: $B_1(2; 0; 2)$.
4. Для нахождения координат точки C, рассмотрим ее проекцию на плоскость Oxy. Вектор $\vec{BC}$ имеет длину 2. Угол $\angle ABC = 120^\circ$. Так как ось Ox направлена вдоль AB, то вектор $\vec{BC}$ образует с положительным направлением оси Ox угол, равный $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Координаты точки C вычисляются следующим образом:
$x_C = x_B + |BC| \cdot \cos(60^\circ) = 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$
$y_C = y_B + |BC| \cdot \sin(60^\circ) = 0 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$z_C = 0$ (так как C находится в нижнем основании).
Получаем координаты точки C: $C(3; \sqrt{3}; 0)$.
5. Точка $C_1$ лежит в верхнем основании над точкой C: $C_1(3; \sqrt{3}; 2)$.

Теперь найдем координаты векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$, которые являются направляющими векторами для заданных прямых.
Вектор $\vec{AB_1}$ имеет координаты, равные разности координат точек $B_1$ и $A$:
$\vec{AB_1} = \{x_{B_1} - x_A; y_{B_1} - y_A; z_{B_1} - z_A\} = \{2 - 0; 0 - 0; 2 - 0\} = \{2; 0; 2\}$.
Вектор $\vec{BC_1}$ имеет координаты, равные разности координат точек $C_1$ и $B$:
$\vec{BC_1} = \{x_{C_1} - x_B; y_{C_1} - y_B; z_{C_1} - z_B\} = \{3 - 2; \sqrt{3} - 0; 2 - 0\} = \{1; \sqrt{3}; 2\}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$. Он вычисляется по формуле скалярного произведения векторов:
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1}|}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{BC_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot 2 = 2 + 0 + 4 = 6$.

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{AB_1}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$|\vec{BC_1}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 3 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos \alpha = \frac{|6|}{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{6}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Поскольку скалярное произведение положительно ($6 > 0$), угол между векторами является острым, и его косинус равен косинусу угла между прямыми.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

8.14. Повторите определение угла между плоскостями.

Повторите определение угла между плоскостями.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это величина, характеризующая их взаимное расположение в пространстве. Существует два основных способа определения этого угла: геометрический и аналитический.

Геометрическое определение

Две пересекающиеся плоскости образуют в пространстве четыре двугранных угла. Двугранный угол — это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной общей прямой, которая называется ребром двугранного угла. Углом между плоскостями принято считать наименьший из образованных двугранных углов.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Для построения линейного угла необходимо выполнить следующие шаги:

1. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ (ребро двугранного угла).

2. На прямой $c$ выбирается произвольная точка $O$.

3. В плоскости $\alpha$ через точку $O$ проводится прямая $a$, перпендикулярная прямой $c$.

4. В плоскости $\beta$ через ту же точку $O$ проводится прямая $b$, также перпендикулярная прямой $c$.

Угол между прямыми $a$ и $b$ и называется линейным углом двугранного угла. Его величина не зависит от выбора точки $O$ на ребре $c$.

Таким образом, углом между двумя пересекающимися плоскостями называется угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к линии их пересечения через одну и ту же ее точку. По определению, величина этого угла находится в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если плоскости параллельны, угол между ними равен $0^\circ$. Если плоскости перпендикулярны, угол равен $90^\circ$.

Аналитическое определение (через векторы нормали)

Угол между двумя плоскостями равен острому углу между их векторами нормали. Вектор нормали (или нормальный вектор) — это любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Если плоскости заданы уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, то их нормальные векторы имеют координаты $\vec{n_1} = \{A_1; B_1; C_1\}$ и $\vec{n_2} = \{A_2; B_2; C_2\}$. Косинус угла $\varphi$ между плоскостями вычисляется по формуле скалярного произведения векторов:

$ \cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} $

Использование модуля скалярного произведения в числителе гарантирует, что будет найден косинус острого (или прямого) угла, что соответствует геометрическому определению.

Ответ: Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина наименьшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Он равен углу между двумя прямыми, которые лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения, будучи проведенными из одной и той же точки на этой линии. Величина угла между плоскостями может принимать значения от $0^\circ$ до $90^\circ$.

8.14. Повторите определение угла между плоскостями.

8.15. Повторите способы задания уравнения плоскости в пространстве.

Решение

Плоскость в трехмерном пространстве может быть задана различными способами, каждый из которых удобен для решения определенного типа задач. Рассмотрим основные виды уравнений плоскости.

1. Общее уравнение плоскости

Это наиболее универсальная форма задания плоскости. Любая плоскость в прямоугольной декартовой системе координат $Oxyz$ может быть представлена линейным уравнением:

$Ax + By + Cz + D = 0$

где $A, B, C, D$ – действительные коэффициенты. Важным условием является то, что хотя бы один из коэффициентов $A, B$ или $C$ должен быть отличен от нуля. Вектор $\vec{n} = (A, B, C)$ называется вектором нормали к плоскости, то есть он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Ответ: $Ax + By + Cz + D = 0$.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

Если известна точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$, принадлежащая плоскости, и вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, перпендикулярный этой плоскости, то уравнение можно составить следующим образом. Для любой точки $M(x, y, z)$ плоскости вектор $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ лежит в этой плоскости и, следовательно, перпендикулярен вектору нормали $\vec{n}$. Условие их перпендикулярности (равенство нулю их скалярного произведения $\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$) дает уравнение:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Ответ: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Плоскость однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой: $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$. Для произвольной точки плоскости $M(x, y, z)$ векторы $\vec{M_1M} = (x-x_1, y-y_1, z-z_1)$, $\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ и $\vec{M_1M_3} = (x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1)$ лежат в одной плоскости (компланарны). Условие компланарности векторов — равенство нулю их смешанного произведения, что приводит к уравнению:

$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$

Ответ: $\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$.

4. Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость не проходит через начало координат и отсекает на осях $Ox, Oy, Oz$ отрезки величиной $a, b, c$ соответственно, то есть проходит через точки $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$ и $(0, 0, c)$, где $a, b, c \neq 0$, ее уравнение можно записать в виде:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Эта форма удобна для быстрого построения плоскости.

Ответ: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

5. Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

Данный вид уравнения удобен для нахождения расстояния от точки до плоскости. Оно имеет вид:

$x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma - p = 0$

Здесь $p$ – это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость ($p \ge 0$), а $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ – направляющие косинусы этого перпендикуляра (то есть координаты единичного вектора нормали $\vec{n^0}$). Общее уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель $\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$, знак которого выбирается противоположным знаку $D$.

Ответ: $x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma - p = 0$.

6. Параметрическое уравнение плоскости

Плоскость можно задать точкой $M_0(x_0, y_0, z_0)$, через которую она проходит, и двумя неколлинеарными (непараллельными) направляющими векторами $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$, параллельными этой плоскости. Тогда радиус-вектор $\vec{r}$ любой точки $M(x,y,z)$ плоскости можно представить как сумму радиус-вектора $\vec{r_0}$ точки $M_0$ и линейной комбинации направляющих векторов. В координатах это записывается системой уравнений:

$\begin{cases} x = x_0 + u a_1 + v b_1 \\ y = y_0 + u a_2 + v b_2 \\ z = z_0 + u a_3 + v b_3 \end{cases}$

где $u$ и $v$ – произвольные действительные числа (параметры).

Ответ: $\begin{cases} x = x_0 + u a_1 + v b_1 \\ y = y_0 + u a_2 + v b_2 \\ z = z_0 + u a_3 + v b_3 \end{cases}$, где $u, v \in \mathbb{R}$.

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки $A_0(a; 0; 0)$, $B_0(0; b; 0)$ и параллельной оси $Oz$, где $a, b$ — числа, отличные от нуля.

Дано:

Плоскость проходит через точки $A_0(a; 0; 0)$ и $B_0(0; b; 0)$.

Плоскость параллельна оси $Oz$.

Числа $a$ и $b$ отличны от нуля ($a \ne 0, b \ne 0$).

Найти:

Уравнение плоскости.

Решение:

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$, где $\vec{n} = (A, B, C)$ — вектор нормали к плоскости.

Для нахождения уравнения искомой плоскости нам нужен один из ее векторов нормали и любая точка, принадлежащая этой плоскости. В качестве точки можно взять, например, $A_0(a; 0; 0)$.

Найдем два неколлинеарных вектора, параллельных нашей плоскости.

1. Так как точки $A_0(a; 0; 0)$ и $B_0(0; b; 0)$ лежат в плоскости, то вектор $\vec{A_0B_0}$ также лежит в этой плоскости (или параллелен ей). Найдем его координаты:

$\vec{v_1} = \vec{A_0B_0} = (0-a; b-0; 0-0) = (-a; b; 0)$.

2. По условию, плоскость параллельна оси $Oz$. Направляющий вектор оси $Oz$ — это вектор $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Следовательно, этот вектор параллелен нашей плоскости.

$\vec{v_2} = \vec{k} = (0; 0; 1)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости. Значит, его можно найти как векторное произведение векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & b & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(b \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(-a \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(-a \cdot 0 - b \cdot 0) = b\vec{i} + a\vec{j} + 0\vec{k}$.

Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (b; a; 0)$.

Коэффициенты в уравнении плоскости: $A=b$, $B=a$, $C=0$. Уравнение принимает вид:

$bx + ay + 0 \cdot z + D = 0 \Rightarrow bx + ay + D = 0$.

Чтобы найти коэффициент $D$, подставим в это уравнение координаты точки $A_0(a; 0; 0)$, которая принадлежит плоскости:

$b \cdot a + a \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow ab + D = 0 \Rightarrow D = -ab$.

Подставим значение $D$ в уравнение плоскости:

$bx + ay - ab = 0$.

Это и есть искомое уравнение. Его можно представить в другом виде. Перенесем свободный член в правую часть:

$bx + ay = ab$.

Так как по условию $a \ne 0$ и $b \ne 0$, то их произведение $ab \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $ab$:

$\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab}$

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Это уравнение плоскости "в отрезках" на осях $Ox$ и $Oy$. Оно не содержит переменной $z$, что подтверждает параллельность плоскости оси $Oz$.

Ответ: $bx + ay - ab = 0$ или $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.