Страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как можно задавать прямую в пространстве?

2. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

3. Какими параметрическими уравнениями задается прямая, проходящая через две данные точки?

4. Как найти косинус угла между двумя прямыми, заданными параметрическими уравнениями?

5. В каком случае две прямые, заданные параметрическими уравнениями, перпендикулярны?

Как можно задавать прямую в пространстве?

Решение:

Прямую линию в трехмерном пространстве можно определить несколькими фундаментальными способами. Каждый способ удобен для решения определенного класса задач.

1. Через точку и направляющий вектор. Это наиболее распространенный способ в аналитической геометрии. Прямая однозначно определяется, если задана точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$, через которую она проходит, и ненулевой вектор $\vec{s} = (l, m, n)$, параллельный этой прямой (направляющий вектор). На основе этих данных записываются канонические и параметрические уравнения прямой.

2. Через две различные точки. Согласно аксиоме геометрии, через любые две различные точки пространства проходит единственная прямая. Если даны точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$, то они однозначно задают прямую. В качестве направляющего вектора в этом случае можно взять вектор $\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

3. Как пересечение двух непараллельных плоскостей. Прямую можно рассматривать как множество точек, одновременно принадлежащих двум плоскостям, которые пересекаются. Такая прямая задается системой двух линейных уравнений, каждое из которых является уравнением плоскости: $ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} $. Для того чтобы плоскости пересекались, их нормальные векторы $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ не должны быть коллинеарными.

Ответ: Прямую в пространстве можно задать: 1) точкой, через которую она проходит, и направляющим вектором; 2) двумя различными точками, принадлежащими ей; 3) как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

2. Какой вектор называется направляющим вектором прямой?

Решение:

Для описания ориентации прямой в пространстве используется понятие направляющего вектора. Направление является ключевой характеристикой прямой.

Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, который лежит на данной прямой или параллелен ей. Иными словами, это вектор, коллинеарный данной прямой.

Важно понимать, что для одной и той же прямой существует бесконечное множество направляющих векторов. Все они коллинеарны друг другу. Если вектор $\vec{s}$ является направляющим вектором прямой, то и любой вектор $\vec{s'} = k \cdot \vec{s}$, где $k$ — любое действительное число, не равное нулю, также будет направляющим вектором этой же прямой. Эти векторы могут отличаться по длине и быть сонаправленными ($k>0$) или противоположно направленными ($k<0$).

Ответ: Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, который параллелен (коллинеарен) этой прямой.

3. Какими параметрическими уравнениями задается прямая, проходящая через две данные точки?

Решение:

Пусть в пространстве заданы две различные точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$, через которые проходит прямая.

Для составления параметрических уравнений прямой необходимы координаты одной точки на прямой и координаты ее направляющего вектора. В качестве точки на прямой можно выбрать любую из двух данных, например, $M_1(x_1, y_1, z_1)$. Направляющий вектор $\vec{s}$ можно определить как вектор, идущий из точки $M_1$ в точку $M_2$. Его координаты вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора: $\vec{s} = \vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

Общий вид параметрических уравнений прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $(l, m, n)$, таков: $ \begin{cases} x = x_0 + l t \\ y = y_0 + m t \\ z = z_0 + n t \end{cases} $, где $t \in (-\infty, +\infty)$ — параметр.

Подставляя координаты точки $M_1$ и направляющего вектора $\vec{M_1M_2}$, получаем искомую систему уравнений.

Ответ: Параметрические уравнения прямой, проходящей через точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$, задаются системой: $ \begin{cases} x = x_1 + (x_2 - x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 - y_1)t \\ z = z_1 + (z_2 - z_1)t \end{cases} $, где $t$ — параметр.

4. Как найти косинус угла между двумя прямыми, заданными параметрическими уравнениями?

Решение:

Углом между двумя прямыми в пространстве называется угол между их направляющими векторами (или смежный с ним, обычно выбирают меньший из двух углов, то есть от $0$ до $\pi/2$).

Пусть первая прямая $L_1$ задана параметрическими уравнениями, из которых следует ее направляющий вектор $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$. Пусть вторая прямая $L_2$ задана параметрическими уравнениями, из которых следует ее направляющий вектор $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$.

Косинус угла $\phi$ между векторами $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ находится по формуле, использующей скалярное произведение векторов и их модули: $\cos\phi = \frac{\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}}{|\vec{s_1}| |\vec{s_2}|}$.

Распишем эту формулу в координатах: Скалярное произведение: $\vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2$. Модули векторов: $|\vec{s_1}| = \sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2}$ и $|\vec{s_2}| = \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}$.

Таким образом, формула для косинуса угла приобретает вид, указанный в ответе. Если требуется найти именно острый угол, то в числителе дроби берется модуль скалярного произведения: $|\vec{s_1} \cdot \vec{s_2}|$.

Ответ: Косинус угла $\phi$ между двумя прямыми с направляющими векторами $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$ находится по формуле: $\cos \phi = \frac{l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$.

5. В каком случае две прямые, заданные параметрическими уравнениями, перпендикулярны?

Решение:

Две прямые в пространстве считаются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$ ($\pi/2$ радиан). Это эквивалентно перпендикулярности их направляющих векторов.

Пусть первая прямая имеет направляющий вектор $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$, а вторая — $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$. Координаты этих векторов берутся из соответствующих параметрических уравнений прямых.

Условием перпендикулярности (ортогональности) двух ненулевых векторов является равенство их скалярного произведения нулю. $\vec{s_1} \perp \vec{s_2} \iff \vec{s_1} \cdot \vec{s_2} = 0$.

Записав скалярное произведение в координатной форме, мы получаем необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых.

Ответ: Две прямые, заданные параметрическими уравнениями с направляющими векторами $\vec{s_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{s_2} = (l_2, m_2, n_2)$, перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю, то есть выполняется равенство: $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$.

8.1. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(1; 2; -3) с направляющим вектором $\vec{c}(-2; 3; 1)$.

Дано:

Точка $A(1; 2; -3)$, через которую проходит прямая.

Направляющий вектор прямой $\vec{c}(-2; 3; 1)$.

Найти:

Параметрические уравнения прямой.

Решение:

Параметрические уравнения прямой в пространстве, которая проходит через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s}(l; m; n)$, задаются следующей системой уравнений:

$\begin{cases}x = x_0 + l \cdot t \\y = y_0 + m \cdot t \\z = z_0 + n \cdot t\end{cases}$
где $t$ — это параметр, принимающий любые действительные значения.

В данной задаче нам даны координаты точки $A(1; 2; -3)$, следовательно, $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = -3$.

Также дан направляющий вектор $\vec{c}(-2; 3; 1)$, следовательно, его компоненты $l = -2$, $m = 3$, $n = 1$.

Подставим эти значения в общую формулу параметрических уравнений:

$\begin{cases}x = 1 + (-2) \cdot t \\y = 2 + 3 \cdot t \\z = -3 + 1 \cdot t\end{cases}$

Упрощая выражения, получаем искомую систему параметрических уравнений прямой:

$\begin{cases}x = 1 - 2t \\y = 2 + 3t \\z = -3 + t\end{cases}$

Ответ: $\begin{cases}x = 1 - 2t \\y = 2 + 3t \\z = -3 + t\end{cases}$

8.2. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки $A_1(-2; 1; 3)$, $A_2(3; 4; -1)$.

Дано:

Точка $A_1(-2; 1; 3)$

Точка $A_2(3; 4; -1)$

Найти:

Параметрические уравнения прямой, проходящей через точки $A_1$ и $A_2$.

Решение:

Параметрические уравнения прямой в пространстве имеют вид:

$ \begin{cases} x = x_0 + l \cdot t \\ y = y_0 + m \cdot t \\ z = z_0 + n \cdot t \end{cases} $

где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты точки, через которую проходит прямая, а $\vec{s} = (l, m, n)$ — направляющий вектор прямой, $t$ — параметр.

1. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{s}$. В качестве направляющего вектора можно взять вектор $\vec{A_1A_2}$. Для этого вычтем из координат точки $A_2$ соответствующие координаты точки $A_1$:

$\vec{s} = \vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$

$\vec{s} = (3 - (-2); 4 - 1; -1 - 3) = (5; 3; -4)$

Таким образом, компоненты направляющего вектора: $l=5$, $m=3$, $n=-4$.

2. В качестве точки $(x_0, y_0, z_0)$, через которую проходит прямая, возьмем точку $A_1(-2; 1; 3)$.

3. Подставим координаты точки $A_1$ и направляющего вектора $\vec{s}$ в общую формулу параметрических уравнений:

$ \begin{cases} x = -2 + 5t \\ y = 1 + 3t \\ z = 3 - 4t \end{cases} $

Это и есть искомые параметрические уравнения.

Ответ:

$ \begin{cases} x = -2 + 5t \\ y = 1 + 3t \\ z = 3 - 4t \end{cases} $

8.3. Определите взаимное расположение прямых l и m, задаваемых уравнениями:

$l: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 3t \end{cases}$ $m: \begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = t \\ z = 4 - 3t \end{cases}$

Дано:

Прямая $l$ задана параметрическими уравнениями:
$l: \begin{cases} x = 1 + 2t, \\ y = 1 - t, \\ z = 1 + 3t; \end{cases}$

Прямая $m$ задана параметрическими уравнениями:
$m: \begin{cases} x = 3 - 2t, \\ y = t, \\ z = 4 - 3t. \end{cases}$

Найти:

Взаимное расположение прямых $l$ и $m$.

Решение:

Для определения взаимного расположения двух прямых в пространстве необходимо проанализировать их направляющие векторы и наличие общих точек.

1. Найдем направляющие векторы прямых.
Направляющий вектор прямой, заданной параметрическими уравнениями $x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct$, имеет координаты $\vec{v}=(a, b, c)$.
Для прямой $l$ направляющий вектор $\vec{v_l} = (2, -1, 3)$.
Для прямой $m$ направляющий вектор $\vec{v_m} = (-2, 1, -3)$.

2. Проверим коллинеарность направляющих векторов.
Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим, существует ли такое число $k$, что $\vec{v_l} = k \cdot \vec{v_m}$.
$\begin{cases} 2 = k \cdot (-2) \\ -1 = k \cdot 1 \\ 3 = k \cdot (-3) \end{cases}$
Из каждого уравнения системы следует, что $k = -1$.
Так как такое число $k$ существует, направляющие векторы коллинеарны. Это означает, что прямые $l$ и $m$ либо параллельны, либо совпадают.

3. Проверим, имеют ли прямые общие точки.
Для этого выясним, принадлежит ли какая-либо точка одной прямой другой прямой. Возьмем любую точку, принадлежащую прямой $l$, например, при $t=0$ получим точку $M_l(1, 1, 1)$.
Подставим координаты этой точки в параметрические уравнения прямой $m$, заменив для удобства параметр на $s$:
$m: \begin{cases} x = 3 - 2s, \\ y = s, \\ z = 4 - 3s. \end{cases}$
Получим систему уравнений:
$\begin{cases} 1 = 3 - 2s \\ 1 = s \\ 1 = 4 - 3s \end{cases}$
Из второго уравнения системы сразу получаем $s=1$. Подставим это значение в первое и третье уравнения, чтобы проверить, выполняются ли они:
Первое уравнение: $1 = 3 - 2(1) \implies 1 = 1$ (верно).
Третье уравнение: $1 = 4 - 3(1) \implies 1 = 1$ (верно).
Так как существует значение параметра $s=1$, при котором точка $M_l(1, 1, 1)$ принадлежит прямой $m$, то прямые имеют общую точку.

Поскольку направляющие векторы прямых коллинеарны и прямые имеют хотя бы одну общую точку, они совпадают.

Ответ: Прямые $l$ и $m$ совпадают.

8.4. Найдите косинус угла между прямыми l и m, заданными параметрическими уравнениями:

$l: \begin{cases} x = 1 + 2t, \\ y = 1 + 2t, \\ z = 1 - t; \end{cases}$ $m: \begin{cases} x = 3 + t, \\ y = -2t, \\ z = 4 + 2t. \end{cases}$

Дано:

Параметрические уравнения прямых $l$ и $m$.

Прямая $l$: $ \begin{cases} x = 1 + 2t, \\ y = 1 + 2t, \\ z = 1 - t; \end{cases} $

Прямая $m$: $ \begin{cases} x = 3 + t, \\ y = -2t, \\ z = 4 + 2t. \end{cases} $

Найти:

Косинус угла $\varphi$ между прямыми $l$ и $m$.

Решение:

Угол между двумя прямыми в пространстве определяется как угол между их направляющими векторами. Направляющий вектор прямой, заданной параметрическими уравнениями вида $ \begin{cases} x = x_0 + at, \\ y = y_0 + bt, \\ z = z_0 + ct; \end{cases} $ имеет координаты $\vec{s} = \{a; b; c\}$.

Из уравнений прямой $l$ находим её направляющий вектор $\vec{s_l}$ (коэффициенты при параметре $t$):

$\vec{s_l} = \{2; 2; -1\}$

Аналогично, из уравнений прямой $m$ находим её направляющий вектор $\vec{s_m}$:

$\vec{s_m} = \{1; -2; 2\}$

Косинус угла $\varphi$ между двумя прямыми вычисляется по формуле:

$\cos \varphi = \frac{|\vec{s_l} \cdot \vec{s_m}|}{|\vec{s_l}| \cdot |\vec{s_m}|}$

где $\vec{s_l} \cdot \vec{s_m}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{s_l}|$ и $|\vec{s_m}|$ — их модули (длины). Угол между прямыми по определению является острым, поэтому используется модуль скалярного произведения.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s_l}$ и $\vec{s_m}$:

$\vec{s_l} \cdot \vec{s_m} = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 2 - 4 - 2 = -4$

2. Вычислим модули векторов:

$|\vec{s_l}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{s_m}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \varphi = \frac{|-4|}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$.