Номер 8.3, страница 57 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.3. Определите взаимное расположение прямых l и m, задаваемых уравнениями:

$l: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 3t \end{cases}$ $m: \begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = t \\ z = 4 - 3t \end{cases}$

Дано:

Прямая $l$ задана параметрическими уравнениями:
$l: \begin{cases} x = 1 + 2t, \\ y = 1 - t, \\ z = 1 + 3t; \end{cases}$

Прямая $m$ задана параметрическими уравнениями:
$m: \begin{cases} x = 3 - 2t, \\ y = t, \\ z = 4 - 3t. \end{cases}$

Найти:

Взаимное расположение прямых $l$ и $m$.

Решение:

Для определения взаимного расположения двух прямых в пространстве необходимо проанализировать их направляющие векторы и наличие общих точек.

1. Найдем направляющие векторы прямых.
Направляющий вектор прямой, заданной параметрическими уравнениями $x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct$, имеет координаты $\vec{v}=(a, b, c)$.
Для прямой $l$ направляющий вектор $\vec{v_l} = (2, -1, 3)$.
Для прямой $m$ направляющий вектор $\vec{v_m} = (-2, 1, -3)$.

2. Проверим коллинеарность направляющих векторов.
Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим, существует ли такое число $k$, что $\vec{v_l} = k \cdot \vec{v_m}$.
$\begin{cases} 2 = k \cdot (-2) \\ -1 = k \cdot 1 \\ 3 = k \cdot (-3) \end{cases}$
Из каждого уравнения системы следует, что $k = -1$.
Так как такое число $k$ существует, направляющие векторы коллинеарны. Это означает, что прямые $l$ и $m$ либо параллельны, либо совпадают.

3. Проверим, имеют ли прямые общие точки.
Для этого выясним, принадлежит ли какая-либо точка одной прямой другой прямой. Возьмем любую точку, принадлежащую прямой $l$, например, при $t=0$ получим точку $M_l(1, 1, 1)$.
Подставим координаты этой точки в параметрические уравнения прямой $m$, заменив для удобства параметр на $s$:
$m: \begin{cases} x = 3 - 2s, \\ y = s, \\ z = 4 - 3s. \end{cases}$
Получим систему уравнений:
$\begin{cases} 1 = 3 - 2s \\ 1 = s \\ 1 = 4 - 3s \end{cases}$
Из второго уравнения системы сразу получаем $s=1$. Подставим это значение в первое и третье уравнения, чтобы проверить, выполняются ли они:
Первое уравнение: $1 = 3 - 2(1) \implies 1 = 1$ (верно).
Третье уравнение: $1 = 4 - 3(1) \implies 1 = 1$ (верно).
Так как существует значение параметра $s=1$, при котором точка $M_l(1, 1, 1)$ принадлежит прямой $m$, то прямые имеют общую точку.

Поскольку направляющие векторы прямых коллинеарны и прямые имеют хотя бы одну общую точку, они совпадают.

Ответ: Прямые $l$ и $m$ совпадают.