Номер 8.6, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.6. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 4, AD = 4, AA_1 = 3$, найдите косинус угла между прямыми $BD$ и $AB_1$.

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ - прямоугольный параллелепипед

$AB = 4$

$AD = 4$

$AA_1 = 3$

Найти:

$\cos \alpha$ - косинус угла между прямыми $BD$ и $AB_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми в пространстве воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат определим координаты необходимых нам точек:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(4, 0, 0)$ (т.к. лежит на оси $Ox$ на расстоянии 4 от начала координат)
• $D(0, 4, 0)$ (т.к. лежит на оси $Oy$ на расстоянии 4 от начала координат)
• $B_1(4, 0, 3)$ (координаты по $x$ и $y$ как у точки $B$, по $z$ как у точки $A_1(0,0,3)$)

Теперь найдем координаты векторов $\vec{BD}$ и $\vec{AB_1}$, которые являются направляющими векторами для соответствующих прямых.

Координаты вектора $\vec{BD}$ равны разности координат конца и начала вектора:

$\vec{BD} = \{x_D - x_B, y_D - y_B, z_D - z_B\} = \{0-4, 4-0, 0-0\} = \{-4, 4, 0\}$.

Координаты вектора $\vec{AB_1}$:

$\vec{AB_1} = \{x_{B_1} - x_A, y_{B_1} - y_A, z_{B_1} - z_A\} = \{4-0, 0-0, 3-0\} = \{4, 0, 3\}$.

Косинус угла $\varphi$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:

$\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BD}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{BD} \cdot \vec{AB_1} = (-4) \cdot 4 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 3 = -16 + 0 + 0 = -16$.

Вычислим длины (модули) этих векторов:

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Теперь найдем косинус угла $\varphi$ между векторами:

$\cos \varphi = \frac{\vec{BD} \cdot \vec{AB_1}}{|\vec{BD}| \cdot |\vec{AB_1}|} = \frac{-16}{4\sqrt{2} \cdot 5} = \frac{-16}{20\sqrt{2}} = \frac{-4}{5\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{2}}{5 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{-4\sqrt{2}}{10} = -\frac{2\sqrt{2}}{5}$.

Угол между прямыми по определению считается острым (или прямым), поэтому его значение лежит в промежутке от $0$ до $90^\circ$ (или от $0$ до $\pi/2$ радиан). Косинус такого угла всегда неотрицателен. Поэтому косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

$\cos \alpha = |\cos \varphi| = |-\frac{2\sqrt{2}}{5}| = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{5}$.