Страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8.5. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 4$, $AD = 4$, $AA_1 = 3$, найдите косинус угла между прямыми $DB_1$ и $AC$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 4$

$AD = 4$

$AA_1 = 3$

Найти:

Косинус угла между прямыми $DB_1$ и $AC$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ и осями, направленными вдоль ребер параллелепипеда:

Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$.

Ось $Oy$ направим вдоль ребра $AD$.

Ось $Oz$ направим вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат определим координаты вершин, которые задают наши прямые:

$A(0; 0; 0)$

$C(4; 4; 0)$ (поскольку основание $ABCD$ — квадрат со стороной 4)

$D(0; 4; 0)$

$B_1(4; 0; 3)$

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $AC$ и $DB_1$.

Для прямой $AC$ направляющим вектором будет вектор $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \{C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z\} = \{4 - 0; 4 - 0; 0 - 0\} = \{4; 4; 0\}$.

Для прямой $DB_1$ направляющим вектором будет вектор $\vec{DB_1}$:

$\vec{DB_1} = \{B_{1x} - D_x; B_{1y} - D_y; B_{1z} - D_z\} = \{4 - 0; 0 - 4; 3 - 0\} = \{4; -4; 3\}$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DB_1}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB_1} = (4)(4) + (4)(-4) + (0)(3) = 16 - 16 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые $AC$ и $DB_1$ перпендикулярны.

Угол между ними составляет $90^\circ$.

Косинус угла $90^\circ$ равен 0.

$\cos \alpha = \frac{|0|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DB_1}|} = 0$.

Ответ: 0

8.6. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 4, AD = 4, AA_1 = 3$, найдите косинус угла между прямыми $BD$ и $AB_1$.

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ - прямоугольный параллелепипед

$AB = 4$

$AD = 4$

$AA_1 = 3$

Найти:

$\cos \alpha$ - косинус угла между прямыми $BD$ и $AB_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми в пространстве воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат определим координаты необходимых нам точек:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(4, 0, 0)$ (т.к. лежит на оси $Ox$ на расстоянии 4 от начала координат)
• $D(0, 4, 0)$ (т.к. лежит на оси $Oy$ на расстоянии 4 от начала координат)
• $B_1(4, 0, 3)$ (координаты по $x$ и $y$ как у точки $B$, по $z$ как у точки $A_1(0,0,3)$)

Теперь найдем координаты векторов $\vec{BD}$ и $\vec{AB_1}$, которые являются направляющими векторами для соответствующих прямых.

Координаты вектора $\vec{BD}$ равны разности координат конца и начала вектора:

$\vec{BD} = \{x_D - x_B, y_D - y_B, z_D - z_B\} = \{0-4, 4-0, 0-0\} = \{-4, 4, 0\}$.

Координаты вектора $\vec{AB_1}$:

$\vec{AB_1} = \{x_{B_1} - x_A, y_{B_1} - y_A, z_{B_1} - z_A\} = \{4-0, 0-0, 3-0\} = \{4, 0, 3\}$.

Косинус угла $\varphi$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:

$\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BD}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{BD} \cdot \vec{AB_1} = (-4) \cdot 4 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 3 = -16 + 0 + 0 = -16$.

Вычислим длины (модули) этих векторов:

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Теперь найдем косинус угла $\varphi$ между векторами:

$\cos \varphi = \frac{\vec{BD} \cdot \vec{AB_1}}{|\vec{BD}| \cdot |\vec{AB_1}|} = \frac{-16}{4\sqrt{2} \cdot 5} = \frac{-16}{20\sqrt{2}} = \frac{-4}{5\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{2}}{5 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{-4\sqrt{2}}{10} = -\frac{2\sqrt{2}}{5}$.

Угол между прямыми по определению считается острым (или прямым), поэтому его значение лежит в промежутке от $0$ до $90^\circ$ (или от $0$ до $\pi/2$ радиан). Косинус такого угла всегда неотрицателен. Поэтому косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

$\cos \alpha = |\cos \varphi| = |-\frac{2\sqrt{2}}{5}| = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{5}$.

8.7. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого
$AB = 4, AD = 4, AA_1 = 3$, найдите косинус угла между прямыми
$AB_1$ и $BC_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 4$

$AD = 4$

$AA_1 = 3$

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ – вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ – вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат найдем координаты вершин, необходимых для определения векторов, лежащих на искомых прямых.

Координаты точки $A$ (начало координат): $A(0; 0; 0)$.

Координаты точки $B$ (лежит на оси $Ox$): $B(4; 0; 0)$.

Координаты точки $C$ (в плоскости $Oxy$): $C(4; 4; 0)$.

Координаты точки $B_1$ (сдвиг точки $B$ по оси $Oz$): $B_1(4; 0; 3)$.

Координаты точки $C_1$ (сдвиг точки $C$ по оси $Oz$): $C_1(4; 4; 3)$.

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $AB_1$ и $BC_1$. В качестве них можно взять векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$.

Координаты вектора $\vec{AB_1}$ равны разности координат конца ($B_1$) и начала ($A$):

$\vec{AB_1} = \{4-0; 0-0; 3-0\} = \{4; 0; 3\}$.

Координаты вектора $\vec{BC_1}$ равны разности координат конца ($C_1$) и начала ($B$):

$\vec{BC_1} = \{4-4; 4-0; 3-0\} = \{0; 4; 3\}$.

Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{BC_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{BC_1} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 0 + 0 + 9 = 9$.

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AB_1}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

$|\vec{BC_1}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{9}{5 \cdot 5} = \frac{9}{25}$.

Так как полученное значение положительно, оно и является косинусом угла между прямыми.

Ответ: $\frac{9}{25}$.

8.8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ стороны основания и высота равны 4 см. Точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $SC$.

Дано:

$SABCD$ – правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания $a = 4$ см
Высота $h = 4$ см
$E$ – середина ребра $SB$

$a = 0.04$ м
$h = 0.04$ м

Найти:

$\cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между прямыми $AE$ и $SC$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина основания $A$ совпадает с началом координат, ось $Ox$ направлена вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ – вдоль ребра $AD$. Ось $Oz$ будет перпендикулярна плоскости основания.

В этой системе координат найдем координаты вершин пирамиды и точки $E$.

Координаты вершин основания $ABCD$ (квадрат со стороной 4):
$A(0; 0; 0)$
$B(4; 0; 0)$
$C(4; 4; 0)$
$D(0; 4; 0)$

Вершина пирамиды $S$ проецируется в центр основания – точку $O$. Точка $O$ – это точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$, ее координаты являются полусуммой координат противоположных вершин, например, $A$ и $C$:
$O(\frac{0+4}{2}; \frac{0+4}{2}; 0) = O(2; 2; 0)$.
Так как высота пирамиды $h=4$, то аппликата точки $S$ равна 4. Следовательно, координаты вершины $S$:
$S(2; 2; 4)$

Точка $E$ является серединой ребра $SB$. Найдем ее координаты как полусумму координат точек $S$ и $B$:
$E(\frac{2+4}{2}; \frac{2+0}{2}; \frac{4+0}{2}) = E(3; 1; 2)$

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $AE$ и $SC$.
Вектор $\vec{AE}$ имеет координаты:
$\vec{AE} = (3-0; 1-0; 2-0) = \{3; 1; 2\}$
Вектор $\vec{SC}$ имеет координаты:
$\vec{SC} = (4-2; 4-2; 0-4) = \{2; 2; -4\}$

Косинус угла $\alpha$ между прямыми (и соответствующими векторами) находится по формуле: $ \cos(\alpha) = \frac{|\vec{AE} \cdot \vec{SC}|}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{SC}|} $

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{SC}$:
$\vec{AE} \cdot \vec{SC} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = 6 + 2 - 8 = 0$

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, и прямые $AE$ и $SC$ перпендикулярны, а угол между ними равен $90^\circ$.

Косинус угла $90^\circ$ равен нулю.

$\cos(\alpha) = \frac{|0|}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{SC}|} = 0$

Ответ: 0.

8.9. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ стороны основания и высота равны 4 см. Точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $SD$.

Дано

SABCD — правильная четырехугольная пирамида.

Сторона основания $AB = BC = CD = DA = 4$ см.

Высота пирамиды $SO = 4$ см (где O - центр основания).

Точка E — середина ребра SB.

Все данные представлены в сантиметрах. Для решения задачи переводить их в систему СИ не обязательно, так как искомая величина (косинус угла) является безразмерной. Будем использовать числовые значения 4.

Найти:

Косинус угла между прямыми AE и SD.

Решение

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в центре основания пирамиды, точке O. Направим ось Ox параллельно стороне AD, ось Oy параллельно стороне AB, а ось Oz — вдоль высоты SO.

В этой системе координат найдем координаты вершин пирамиды и точки E.

Поскольку основание — квадрат со стороной 4, а O — его центр, то координаты вершин основания будут:

A(-2; -2; 0)

B(2; -2; 0)

C(2; 2; 0)

D(-2; 2; 0)

Высота пирамиды равна 4, значит, вершина S имеет координаты S(0; 0; 4).

Точка E является серединой ребра SB. Найдем ее координаты как полусумму координат точек S и B:

$x_E = \frac{x_S + x_B}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1$

$y_E = \frac{y_S + y_B}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = -1$

$z_E = \frac{z_S + z_B}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2$

Таким образом, координаты точки E(1; -1; 2).

Теперь найдем направляющие векторы для прямых AE и SD.

Для прямой AE возьмем вектор $\vec{AE}$:

$\vec{AE} = \{x_E - x_A; y_E - y_A; z_E - z_A\} = \{1 - (-2); -1 - (-2); 2 - 0\} = \{3; 1; 2\}$

Для прямой SD возьмем вектор $\vec{SD}$:

$\vec{SD} = \{x_D - x_S; y_D - y_S; z_D - z_S\} = \{-2 - 0; 2 - 0; 0 - 4\} = \{-2; 2; -4\}$

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{SD}$:

$\vec{AE} \cdot \vec{SD} = 3 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = -6 + 2 - 8 = -12$

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{AE}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

$|\vec{SD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Теперь вычислим косинус угла между векторами:

$\cos \alpha = \frac{-12}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{-6}{\sqrt{14 \cdot 6}} = \frac{-6}{\sqrt{84}} = \frac{-6}{\sqrt{4 \cdot 21}} = \frac{-6}{2\sqrt{21}} = \frac{-3}{\sqrt{21}}$

Рационализируем знаменатель:

$\cos \alpha = -\frac{3\sqrt{21}}{21} = -\frac{\sqrt{21}}{7}$

Угол между прямыми по определению считается острым (от 0° до 90°), поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами.

$\cos(\angle(AE, SD)) = |\cos \alpha| = |-\frac{\sqrt{21}}{7}| = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$

8.10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 2, точка $E$ — середина ребра $A_1B_1$, точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$ (рис. 8.4).

Найдите косинус угла между прямыми $AE$ и $BF$.

Рис. 8.4

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра куба $a = 2$

Точка $E$ — середина ребра $A_1B_1$

Точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$

Найти:

Косинус угла между прямыми $AE$ и $BF$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат найдем координаты нужных нам точек. Поскольку длина ребра куба равна 2, имеем:

$A(0, 0, 0)$

$B(2, 0, 0)$

$A_1(0, 0, 2)$

$B_1(2, 0, 2)$

$C_1(2, 2, 2)$

Точка $E$ является серединой ребра $A_1B_1$. Найдем ее координаты как полусумму координат точек $A_1$ и $B_1$:

$E = (\frac{0+2}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{2+2}{2}) = (1; 0; 2)$

Точка $F$ является серединой ребра $B_1C_1$. Найдем ее координаты как полусумму координат точек $B_1$ и $C_1$:

$F = (\frac{2+2}{2}; \frac{0+2}{2}; \frac{2+2}{2}) = (2; 1; 2)$

Теперь найдем координаты векторов $\vec{AE}$ и $\vec{BF}$, которые являются направляющими векторами для прямых $AE$ и $BF$ соответственно.

$\vec{AE} = (x_E - x_A; y_E - y_A; z_E - z_A) = (1 - 0; 0 - 0; 2 - 0) = (1; 0; 2)$

$\vec{BF} = (x_F - x_B; y_F - y_B; z_F - z_B) = (2 - 2; 1 - 0; 2 - 0) = (0; 1; 2)$

Косинус угла $\alpha$ между прямыми $AE$ и $BF$ равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами $\vec{AE}$ и $\vec{BF}$ и вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{AE} \cdot \vec{BF}|}{|\vec{AE}| \cdot |\vec{BF}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AE} \cdot \vec{BF} = (1 \cdot 0) + (0 \cdot 1) + (2 \cdot 2) = 0 + 0 + 4 = 4$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AE}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}$

$|\vec{BF}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{|4|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$.

8.11.В правильной четырехугольной пи-рамиде $SABCD$ все ребра равны 2 см, точка $E$ — середина ребра $SC$ (рис. 8.5). Найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $BE$.

Рис. 8.5

Дано:

$SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида.
Все ребра равны 2 см, т.е. $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 2$ см.
$E$ — середина ребра $SC$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $SA$ и $BE$.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BE$ воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат.

Пусть центр основания пирамиды (квадрата $ABCD$) — точка $O$ — совпадает с началом координат $(0, 0, 0)$. Оси $Ox$ и $Oy$ направим параллельно сторонам квадрата $AB$ и $AD$ соответственно. Ось $Oz$ направим вдоль высоты пирамиды $SO$.

Так как сторона основания равна 2, то диагональ основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Тогда половина диагонали $AO = OC = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$.

Найдем высоту пирамиды $SO$ из прямоугольного треугольника $SOC$. По условию, боковое ребро $SC = 2$. По теореме Пифагора: $SO^2 + OC^2 = SC^2$. $SO^2 + (\sqrt{2})^2 = 2^2$ $SO^2 + 2 = 4$ $SO^2 = 2 \Rightarrow SO = \sqrt{2}$.

Теперь определим координаты вершин пирамиды: Стороны квадрата $ABCD$ параллельны осям, центр в $(0,0,0)$, сторона равна 2. Следовательно, координаты вершин основания: $A(-1, -1, 0)$, $B(1, -1, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(-1, 1, 0)$. Координаты вершины пирамиды: $S(0, 0, \sqrt{2})$.

Точка $E$ является серединой ребра $SC$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $S$ и $C$: $S(0, 0, \sqrt{2})$, $C(1, 1, 0)$ $E\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{\sqrt{2}+0}{2}\right) = E\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Найдем координаты векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BE}$: $\vec{SA} = A - S = (-1-0, -1-0, 0-\sqrt{2}) = (-1, -1, -\sqrt{2})$. $\vec{BE} = E - B = (\frac{1}{2}-1, \frac{1}{2}-(-1), \frac{\sqrt{2}}{2}-0) = (-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BE}$: $\vec{SA} \cdot \vec{BE} = (-1)\cdot(-\frac{1}{2}) + (-1)\cdot(\frac{3}{2}) + (-\sqrt{2})\cdot(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1-3-2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Найдем длины векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BE}$: $|\vec{SA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$. $|\vec{BE}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.

Теперь найдем косинус угла $\alpha$ между векторами: $\cos \alpha = \frac{-2}{2 \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол между прямыми по определению является острым углом (или прямым), поэтому его косинус не может быть отрицательным. Если косинус угла между направляющими векторами отрицателен, то угол между прямыми равен $\pi - \alpha$, и его косинус равен $|\cos \alpha|$. Следовательно, косинус угла между прямыми $SA$ и $BE$ равен: $\cos(\widehat{SA, BE}) = |-\frac{\sqrt{3}}{3}| = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

8.12. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 2 см, а высота равна 4 см. Точка $G$ — середина ребра $SC$ (рис. 8.6). Найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $BG$.

Рис. 8.6

Дано:

SABCDEF – правильная шестиугольная пирамида.

Стороны основания a = 2 см.

Высота пирамиды h = 4 см.

Точка G – середина ребра SC.

Найти:

Косинус угла между прямыми SA и BG.

Решение:

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми SA и BG введем систему координат. Пусть центр основания пирамиды, правильного шестиугольника ABCDEF, совпадает с началом координат O(0, 0, 0). Высота пирамиды SO будет лежать на оси Oz. Тогда вершина пирамиды имеет координаты S(0, 0, h), то есть S(0, 0, 4).

Вершины основания лежат в плоскости Oxy. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника, то есть R = a = 2. Расположим вершины основания следующим образом для удобства вычислений. Пусть вершина C лежит на положительной части оси Ox. Тогда ее координаты C(2, 0, 0).

Так как ABCDEF – правильный шестиугольник, центральный угол, опирающийся на сторону, равен $360^\circ/6 = 60^\circ$. Координаты остальных вершин можно найти, используя полярные координаты с радиусом R=2.

• Координаты точки B: угол BOC равен $60^\circ$. $B(2\cos(60^\circ), 2\sin(60^\circ), 0) = B(1, \sqrt{3}, 0)$.
• Координаты точки A: угол AOC равен $120^\circ$. $A(2\cos(120^\circ), 2\sin(120^\circ), 0) = A(-1, \sqrt{3}, 0)$.

Точка G является серединой ребра SC. Найдем ее координаты как полусумму координат точек S и C:

$S(0, 0, 4)$ и $C(2, 0, 0)$

$G = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (1, 0, 2)$.

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым SA и BG.

Вектор $\vec{SA}$ имеет координаты, равные разности координат точек A и S:

$\vec{SA} = A - S = (-1 - 0, \sqrt{3} - 0, 0 - 4) = (-1, \sqrt{3}, -4)$.

Вектор $\vec{BG}$ имеет координаты, равные разности координат точек G и B:

$\vec{BG} = G - B = (1 - 1, 0 - \sqrt{3}, 2 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 2)$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{SA}$ и $\vec{BG}$:

$\vec{SA} \cdot \vec{BG} = (-1)(0) + (\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (-4)(2) = 0 - 3 - 8 = -11$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{SA}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 3 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

$|\vec{BG}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 3 + 4} = \sqrt{7}$.

Теперь вычислим косинус угла между векторами:

$\cos(\theta) = \frac{-11}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}} = \frac{-11}{2\sqrt{35}}$.

Угол между прямыми по определению является острым углом, поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

$\cos(\alpha) = |\cos(\theta)| = \left|\frac{-11}{2\sqrt{35}}\right| = \frac{11}{2\sqrt{35}}$.

Ответ: $ \frac{11}{2\sqrt{35}} $.