Страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.18. Сколько плоскостей симметрии у правильной:

а) $n$-угольной призмы;

б) $n$-угольной пирамиды?

а) n-угольной призмы

Решение: Плоскости симметрии правильной n-угольной призмы можно разделить на два типа:

1. Вертикальные плоскости симметрии. Эти плоскости проходят через ось симметрии призмы (линию, соединяющую центры оснований) и перпендикулярны основаниям. Количество таких плоскостей равно количеству осей симметрии у правильного n-угольника, который лежит в основании. Правильный n-угольник имеет ровно $n$ осей симметрии.

• Если $n$ нечетное, то все $n$ осей симметрии проходят через вершину и середину противоположной стороны.
• Если $n$ четное, то $n/2$ осей симметрии проходят через противоположные вершины, а другие $n/2$ осей проходят через середины противоположных сторон.

2. Горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость параллельна основаниям призмы и проходит через середину её высоты, разделяя призму на две зеркально-симметричные части. Такая плоскость всего одна.

Суммируя количество плоскостей обоих типов, получаем общее число плоскостей симметрии: $n + 1$.

Ответ: $n + 1$.

б) n-угольной пирамиды

Решение: У правильной n-угольной пирамиды (пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, а вершина проецируется в его центр) все плоскости симметрии являются вертикальными. Они проходят через вершину пирамиды и её ось (отрезок, соединяющий вершину с центром основания).

Горизонтальной плоскости симметрии, параллельной основанию, у пирамиды нет, так как части, на которые она бы разделила пирамиду (усеченная пирамида и малая пирамида), не были бы зеркально-симметричными.

Количество вертикальных плоскостей симметрии равно количеству осей симметрии у правильного n-угольника, лежащего в основании. Как было указано в предыдущем пункте, правильный n-угольник имеет $n$ осей симметрии. Каждая из этих осей вместе с вершиной пирамиды задаёт плоскость симметрии.

Следовательно, у правильной n-угольной пирамиды ровно $n$ плоскостей симметрии.

Ответ: $n$.

7.19. Сколько осей симметрии имеет:

а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) додекаэдр (рис. 7.22)?

Рис. 7.22

Решение

а) Октаэдр — это правильный многогранник (Платоново тело), у которого 8 граней (правильные треугольники), 12 рёбер и 6 вершин. Оси симметрии (оси вращения) октаэдра можно определить, рассмотрев элементы, через которые они проходят:
1. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. Всего у октаэдра $6 / 2 = 3$ пары противоположных вершин. Поворот вокруг такой оси на угол $360^{\circ}/4 = 90^{\circ}$ совмещает фигуру с собой. Это оси 4-го порядка. Таким образом, имеется 3 таких оси.
2. Оси, проходящие через середины пар противоположных рёбер. Всего у октаэдра $12 / 2 = 6$ пар противоположных рёбер. Поворот вокруг такой оси на угол $180^{\circ}$ совмещает фигуру с собой. Это оси 2-го порядка. Таким образом, имеется 6 таких осей.
3. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. Всего у октаэдра $8 / 2 = 4$ пары противоположных граней. Поворот вокруг такой оси на угол $360^{\circ}/3 = 120^{\circ}$ совмещает фигуру с собой. Это оси 3-го порядка. Таким образом, имеется 4 таких оси.
Общее количество осей симметрии октаэдра: $3 + 6 + 4 = 13$.
Ответ: 13.

б) Икосаэдр — это правильный многогранник с 20 гранями (правильные треугольники), 30 рёбрами и 12 вершинами. Его оси симметрии:
1. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. Всего $12 / 2 = 6$ пар. В каждой вершине сходится 5 граней, поэтому это оси 5-го порядка (поворот на $360^{\circ}/5 = 72^{\circ}$). Количество таких осей: 6.
2. Оси, проходящие через середины пар противоположных рёбер. Всего $30 / 2 = 15$ пар. Это оси 2-го порядка (поворот на $180^{\circ}$). Количество таких осей: 15.
3. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. Всего $20 / 2 = 10$ пар. Грани — треугольники, поэтому это оси 3-го порядка (поворот на $360^{\circ}/3 = 120^{\circ}$). Количество таких осей: 10.
Общее количество осей симметрии икосаэдра: $6 + 15 + 10 = 31$.
Ответ: 31.

в) Додекаэдр — это правильный многогранник с 12 гранями (правильные пятиугольники), 30 рёбрами и 20 вершинами. Его оси симметрии:
1. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. Всего $12 / 2 = 6$ пар. Грани — пятиугольники, поэтому это оси 5-го порядка (поворот на $360^{\circ}/5 = 72^{\circ}$). Количество таких осей: 6.
2. Оси, проходящие через середины пар противоположных рёбер. Всего $30 / 2 = 15$ пар. Это оси 2-го порядка (поворот на $180^{\circ}$). Количество таких осей: 15.
3. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. Всего $20 / 2 = 10$ пар. В каждой вершине сходятся 3 грани, поэтому это оси 3-го порядка (поворот на $360^{\circ}/3 = 120^{\circ}$). Количество таких осей: 10.
Общее количество осей симметрии додекаэдра: $6 + 15 + 10 = 31$.
Ответ: 31.

7.20. Сколько плоскостей симметрии имеет:

а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) додекаэдр (рис. 7.22)?

а) Правильный октаэдр — это платоново тело, состоящее из 8 граней (равносторонних треугольников), 12 рёбер и 6 вершин. Плоскости симметрии октаэдра проходят через его центр и делятся на два типа:

1. Плоскости, проходящие через четыре вершины. Эти четыре вершины образуют квадрат, который является "экваториальным" сечением октаэдра. Поскольку любую из 3 пар противоположных вершин можно выбрать в качестве "полюсов", существует 3 таких взаимно перпендикулярных "экваториальных" квадрата. Таким образом, имеется 3 плоскости симметрии этого типа.

2. Плоскости, проходящие через пару противоположных вершин и середины двух противоположных рёбер. Для каждой из 3 пар противоположных вершин (образующих ось) существуют две такие плоскости, которые делят пополам "экваториальный" квадрат, перпендикулярный этой оси. Это даёт $3 \times 2 = 6$ плоскостей симметрии.

Общее число плоскостей симметрии октаэдра равно сумме плоскостей обоих типов: $3 + 6 = 9$.

Ответ: $9$.

б) Икосаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 20 граней (равносторонних треугольников), 30 рёбер и 12 вершин. Все плоскости симметрии икосаэдра проходят через его центр.

Наиболее простой способ подсчета плоскостей симметрии — рассмотреть его рёбра. У икосаэдра 30 рёбер, которые образуют 15 пар противоположных друг другу рёбер. Через каждую такую пару противоположных рёбер проходит плоскость симметрии. Эта плоскость содержит два ребра и центр икосаэдра. Сечение икосаэдра такой плоскостью представляет собой прямоугольник.

Поскольку существует 15 пар противоположных рёбер, икосаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Также стоит отметить, что икосаэдр и додекаэдр являются двойственными (дуальными) многогранниками, поэтому они имеют одинаковую группу симметрии и, следовательно, одинаковое количество плоскостей симметрии.

Ответ: $15$.

в) Додекаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 12 граней (правильных пятиугольников), 30 рёбер и 20 вершин.

Как и в случае с икосаэдром, плоскости симметрии додекаэдра проходят через его центр и определяются парами противоположных рёбер. У додекаэдра 30 рёбер, образующих 15 пар. Каждая плоскость симметрии проходит через такую пару противоположных рёбер, рассекая додекаэдр на две зеркально-симметричные половины. В сечении додекаэдра такая плоскость образует шестиугольник.

Так как существует 15 пар противоположных рёбер, додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии.

Ответ: $15$.

7.21. Может ли центр симметрии пространственной фигуры не принадлежать ей? Приведите примеры.

Может ли центр симметрии пространственной фигуры не принадлежать ей?

Да, центр симметрии пространственной фигуры может не принадлежать самой фигуре. По определению, точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$, если для любой точки $P$, принадлежащей фигуре $F$, точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно $O$, также принадлежит фигуре $F$. В этом определении не содержится требования о принадлежности самого центра симметрии $O$ фигуре $F$.

Ответ: Да, может.

Приведите примеры.

В качестве примеров можно привести следующие пространственные фигуры:

1. Две параллельные плоскости. Рассмотрим фигуру $F$, образованную объединением двух параллельных плоскостей $\alpha_1$ и $\alpha_2$, заданных уравнениями $z = c$ и $z = -c$ соответственно, где $c$ — действительное число, не равное нулю ($c \ne 0$). Центром симметрии данной фигуры является начало координат, точка $O(0, 0, 0)$. Для любой точки $M(x, y, c)$, принадлежащей плоскости $\alpha_1$, симметричная ей относительно $O$ точка $M'(-x, -y, -c)$ принадлежит плоскости $\alpha_2$, и, следовательно, принадлежит фигуре $F$. Аналогичное утверждение верно и для любой точки плоскости $\alpha_2$. Таким образом, точка $O$ является центром симметрии. Однако сама точка $O(0, 0, 0)$ не принадлежит фигуре $F$, так как её аппликата $z=0$, в то время как все точки фигуры $F$ имеют аппликаты, равные либо $c$, либо $-c$.

2. Сферический слой. Рассмотрим фигуру $F$, которая представляет собой область пространства, заключенную между двумя концентрическими сферами с общим центром в начале координат $O(0, 0, 0)$ и радиусами $r$ и $R$, причём $0 < r < R$. Множество точек $P(x, y, z)$, составляющих эту фигуру, удовлетворяет двойному неравенству $r < \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} < R$. Точка $O$ является центром симметрии этой фигуры, так как для любой точки $P$ из этого слоя симметричная ей точка $P'$ будет находиться на том же расстоянии от центра, а значит, также будет принадлежать слою. Но сама точка $O(0, 0, 0)$ фигуре $F$ не принадлежит, поскольку расстояние от неё до себя самой равно нулю, что не удовлетворяет неравенству ($0$ не больше $r$).

3. Полый цилиндр (цилиндрическая труба). Рассмотрим фигуру, ограниченную двумя соосными цилиндрическими поверхностями с радиусами $r$ и $R$ ($0 < r < R$) и двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными оси цилиндров, например, $z=h$ и $z=-h$ ($h>0$). Центром симметрии такой фигуры является точка $O(0, 0, 0)$. Эта точка лежит на оси симметрии в геометрическом центре фигуры, но не принадлежит ей, так как находится в пустом пространстве внутри трубы.

Ответ: Примерами пространственных фигур, центр симметрии которых им не принадлежит, являются: две параллельные плоскости, сферический слой, полый цилиндр.

7.22. Приведите примеры пространственных фигур, у которых:

а) есть центр симметрии, но нет оси симметрии;

б) есть ось симметрии, но нет центра симметрии.

а) есть центр симметрии, но нет оси симметрии

Сначала дадим определения. Центр симметрии пространственной фигуры — это такая точка $C$, что для любой точки $M$, принадлежащей фигуре, симметричная ей точка $M'$ относительно центра $C$ (то есть точка $C$ является серединой отрезка $MM'$) также принадлежит этой фигуре. Ось симметрии — это такая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 360^\circ$) фигура переходит сама в себя.

Примером фигуры, у которой есть центр симметрии, но нет оси симметрии, является косой параллелепипед в общем виде (у которого грани — произвольные параллелограммы, а боковые рёбра не перпендикулярны основаниям).

Объяснение:

1. Наличие центра симметрии. Центром симметрии любого параллелепипеда является точка пересечения его пространственных диагоналей. Эта точка делит каждую диагональ пополам. Следовательно, для любой точки параллелепипеда симметричная ей относительно этого центра точка также будет принадлежать параллелепипеду.

2. Отсутствие осей симметрии. Если косой параллелепипед не является прямым или прямоугольным, и его грани не являются ромбами, то у него нет ни одной прямой, поворот вокруг которой совмещал бы фигуру саму с собой. Любой поворот (кроме поворота на $360^\circ$) вокруг любой оси нарушит исходное положение вершин и рёбер из-за общего "скошенного" вида фигуры.

Ответ: Косой параллелепипед.

б) есть ось симметрии, но нет центра симметрии

Существует множество примеров таких фигур. Рассмотрим некоторые из них.

Пример 1: Правильная пирамида (например, треугольная или четырёхугольная).

Объяснение:

1. Наличие оси симметрии. Прямая, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр её основания, является осью симметрии. Например, для правильной четырёхугольной пирамиды поворот вокруг этой оси на $90^\circ$, $180^\circ$ или $270^\circ$ совмещает пирамиду саму с собой.

2. Отсутствие центра симметрии. У пирамиды нет центра симметрии. Если бы он существовал, то, например, вершина пирамиды должна была бы иметь симметричную ей точку, также принадлежащую фигуре. Однако любая точка, симметричная вершине, будет находиться вне пирамиды (под её основанием).

Пример 2: Прямой круговой конус.

Объяснение:

1. Наличие оси симметрии. Прямая, соединяющая вершину конуса с центром его основания, является его осью симметрии. Конус совмещается сам с собой при повороте на любой угол вокруг этой оси.

2. Отсутствие центра симметрии. Причина та же, что и для пирамиды: вершина конуса не имеет симметричной ей точки, принадлежащей конусу.

Пример 3: Правильная призма, основание которой не имеет центра симметрии (например, правильная треугольная призма).

Объяснение:

1. Наличие оси симметрии. У правильной треугольной призмы есть ось симметрии 3-го порядка (прямая, соединяющая центры оснований) и три оси 2-го порядка (прямые, проходящие через центр призмы перпендикулярно боковым граням).

2. Отсутствие центра симметрии. Геометрический центр призмы (середина отрезка, соединяющего центры оснований) не является центром симметрии. Если отразить любую вершину одного основания относительно этой точки, полученная точка не совпадет ни с одной из вершин другого основания.

Ответ: Правильная пирамида, прямой круговой конус, правильная треугольная призма.

7.23. Приведите примеры пространственных фигур, у которых:
а) есть центр симметрии, но нет плоскости симметрии;
б) есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии.

а) есть центр симметрии, но нет плоскости симметрии

Центром симметрии фигуры называется такая точка O, что для любой точки M фигуры, точка M', симметричная M относительно точки O, также принадлежит этой фигуре. Иными словами, фигура переходит сама в себя при центральной симметрии относительно этой точки.

Плоскостью симметрии фигуры называется такая плоскость, что для любой точки M фигуры, точка M', симметричная M относительно этой плоскости, также принадлежит этой фигуре. Фигура переходит сама в себя при зеркальном отражении относительно этой плоскости.

Примером пространственной фигуры, у которой есть центр симметрии, но нет плоскости симметрии, может служить косой параллелепипед в общем виде.

Объяснение:

Любой параллелепипед (в том числе и косой) имеет центр симметрии — это точка пересечения его диагоналей. Эта точка делит каждую диагональ пополам, и центральная симметрия относительно этой точки переводит параллелепипед в себя.

Однако, если параллелепипед является косым в общем виде (то есть его грани — это параллелограммы, не являющиеся прямоугольниками или ромбами, а боковые ребра не перпендикулярны основаниям), то у него не будет ни одной плоскости симметрии. Любая попытка провести плоскость "зеркального отражения" приведет к тому, что одна часть фигуры не совпадет с отражением другой. Например, плоскость, проходящая через середины четырех параллельных ребер, будет плоскостью симметрии только для прямого параллелепипеда. В косом параллелепипеде отражение относительно такой плоскости не совместит фигуру с собой из-за наклона боковых ребер.

Ответ: косой параллелепипед, у которого все грани — несимметричные параллелограммы.

б) есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии

Осью симметрии фигуры называется такая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (отличный от $360^\circ$) фигура переходит сама в себя.

Примером фигуры, обладающей осью симметрии, но не имеющей плоскости симметрии, является фигура типа пропеллера (винта), у которого лопасти не плоские, а изогнутые или наклоненные в одну и ту же сторону.

Объяснение:

Рассмотрим, например, трехлопастный пропеллер. Ось, проходящая через центр пропеллера перпендикулярно плоскости вращения, является осью симметрии 3-го порядка. Поворот вокруг этой оси на угол $120^\circ$ (или $2\pi/3$ радиан) совмещает каждую лопасть с соседней, и вся фигура переходит сама в себя.

При этом у такого пропеллера нет плоскостей симметрии.

• Плоскость, перпендикулярная оси симметрии (плоскость вращения), не является плоскостью симметрии, так как лопасти наклонены или изогнуты. Отражение в этой плоскости перевело бы лопасти, "закрученные" в одну сторону, в лопасти, "закрученные" в противоположную, а таких в фигуре нет.
• Плоскость, проходящая через ось симметрии, также не является плоскостью симметрии. Отражение в такой плоскости изменило бы направление изгиба/наклона лопасти на противоположное, то есть создало бы "зеркальную" копию лопасти, которая не совпадет с какой-либо другой лопастью исходной фигуры.

Ответ: пропеллер с наклонными или изогнутыми лопастями; винтовая линия (пружина), если рассматривать бесконечную фигуру; любая хиральная молекула, обладающая вращательной симметрией.

7.24. Приведите примеры пространственных фигур, у которых:

а) есть плоскость симметрии, но нет центра симметрии;

б) есть плоскость симметрии, но нет оси симметрии.

а) есть плоскость симметрии, но нет центра симметрии;

Чтобы у пространственной фигуры была плоскость симметрии, необходимо, чтобы эта плоскость делила фигуру на две зеркально-равные части. Центр симметрии — это точка, относительно которой фигура симметрична (то есть для любой точки фигуры симметричная ей относительно центра точка также принадлежит фигуре).

Примерами фигур, у которых есть плоскость симметрии, но отсутствует центр симметрии, являются:
1. Конус (прямой круговой). Любая плоскость, проходящая через его ось, является плоскостью симметрии. Однако у конуса нет центра симметрии, так как, например, для его вершины не существует симметричной точки, принадлежащей конусу.
2. Правильная пирамида. Плоскости, проходящие через вершину и апофемы или диагонали основания, являются плоскостями симметрии. Как и у конуса, у правильной пирамиды нет центра симметрии, так как ее вершина не имеет симметричной ей точки внутри фигуры.
3. Полусфера. Любая плоскость, проходящая через ось симметрии исходной сферы, является плоскостью симметрии для полусферы. Однако центра симметрии у нее нет.
4. Равнобедренный тетраэдр (у которого противоположные рёбра попарно равны) имеет 3 плоскости симметрии, но не имеет центра симметрии.

Ответ: конус, правильная пирамида.

б) есть плоскость симметрии, но нет оси симметрии.

Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (меньше $360^{\circ}$) фигура совмещается сама с собой. Нужно найти фигуру, которая обладает зеркальной симметрией относительно плоскости, но не обладает вращательной симметрией ни относительно какой прямой.

Примерами таких фигур могут служить:
1. Призма, в основании которой лежит равнобедренный, но не равносторонний треугольник. Плоскость, проходящая через середину основания этого треугольника и противолежащее ребро призмы перпендикулярно основанию, будет являться плоскостью симметрии. Однако у такой призмы нет оси симметрии, так как ее основание (равнобедренный треугольник) не имеет центральной симметрии и не совмещается само с собой при повороте на угол, меньший $360^{\circ}$.
2. Пирамида, в основании которой лежит фигура, имеющая только одну ось симметрии (например, равнобедренная трапеция или фигура "воздушный змей" - дельтоид), и вершина которой проецируется на эту ось симметрии основания. Плоскость, проходящая через вершину и ось симметрии основания, будет плоскостью симметрии всей пирамиды. При этом оси симметрии у такой пирамиды не будет.
3. Фигура человека или животного (идеализированная). Такие фигуры имеют одну плоскость симметрии (сагиттальную), но не имеют осей симметрии.

Ответ: прямая призма, в основании которой лежит равнобедренный (но не равносторонний) треугольник; пирамида, в основании которой лежит равнобедренная трапеция, а вершина проецируется на ось симметрии трапеции.

7.25. На листе бумаги в клетку изобразите пирамиду, центрально-симметричную пирамиде $SABCD$ относительно середины $E$ высоты $SO$ (рис. 7.23). Считая ребра пирамиды равными, укажите название многогранника, являющего общей частью исходной пирамиды и центрально-симметричной.

Рис. 7.23

Дано:

Пирамида `SABCD`.

Основание `ABCD` - квадрат.

`SO` - высота пирамиды, `O` - центр основания.

Все ребра пирамиды `SABCD` равны между собой.

`E` - середина высоты `SO`.

Пирамида `S'A'B'C'D'` центрально-симметрична пирамиде `SABCD` относительно точки `E`.

Найти:

Название многогранника, являющегося общей частью (пересечением) исходной и центрально-симметричной пирамид.

Решение:

1. Анализ исходной пирамиды и ее свойств.

Из условия, что все ребра пирамиды равны, следует, что ее основание `ABCD` является квадратом, а боковые грани (`SAB`, `SBC`, `SCD`, `SDA`) — равносторонними треугольниками. Такая пирамида является правильной.

Пусть длина ребра пирамиды равна `a`. Тогда стороны основания `AB=BC=CD=DA=a`, и боковые ребра `SA=SB=SC=SD=a`.

Найдем высоту пирамиды `SO`. Точка `O` является центром квадрата `ABCD`. Длина диагонали квадрата `AC` равна $a\sqrt{2}$. Отрезок `OC`, являющийся половиной диагонали, равен $OC = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `SOC`. По теореме Пифагора найдем катет `SO`:

$SO^2 = SC^2 - OC^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$

Следовательно, высота пирамиды $SO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Построение центрально-симметричной пирамиды.

Центральная симметрия относительно точки `E` преобразует любую точку `P` пространства в точку `P'` так, что `E` является серединой отрезка `PP'`. Векторно это можно записать как $\vec{EP'} = -\vec{EP}$.

Найдем образы вершин исходной пирамиды `SABCD` при симметрии относительно точки `E` (середины `SO`):

• Вершина `S` переходит в точку `O`, так как `E` - середина `SO`.
• Центр основания `O` переходит в точку `S`.
• Основание `ABCD` переходит в конгруэнтное ему основание `A'B'C'D'`, которое лежит в плоскости, проходящей через точку `S` параллельно плоскости `ABCD`.

Таким образом, симметричная пирамида `S'A'B'C'D'` — это пирамида с вершиной в точке `O` и основанием `A'B'C'D'`, конгруэнтная исходной и ориентированная "вниз".

3. Определение многогранника пересечения.

Многогранник, являющийся пересечением двух этих пирамид, будет выпуклым и центрально-симметричным относительно точки `E`. Его вершинами являются точки пересечения ребер одной пирамиды с гранями другой.

Выявим вершины этого многогранника:

• Вершина `S` исходной пирамиды лежит на плоскости основания симметричной пирамиды. Следовательно, `S` является вершиной искомого многогранника.
• Вершина `O` симметричной пирамиды лежит на плоскости основания исходной пирамиды. Следовательно, `O` также является вершиной многогранника.
• Остальные вершины образуются при пересечении боковых ребер одной пирамиды с боковыми ребрами другой. Покажем, что середины боковых ребер первой пирамиды совпадают с серединами боковых ребер второй.

Выберем начало координат в точке `O`. Тогда для любой вершины основания `V` (например, `A`) противоположная ей вершина равна `-V` (для `A` это `C`). Вершина `S` лежит на оси `z`. Образ вершины `V` при симметрии будет $V' = \vec{S}-\vec{V}$.

Середина бокового ребра `SV` первой пирамиды: $M_{SV} = \frac{\vec{S}+\vec{V}}{2}$.

Рассмотрим боковое ребро `OV'_{(-V)}` второй пирамиды. Его вершина $V'_{(-V)} = \vec{S}-(-\vec{V}) = \vec{S}+\vec{V}$.

Середина этого ребра: $M_{OV'_{(-V)}} = \frac{\vec{O}+\vec{V}'_{(-V)}}{2} = \frac{\vec{S}+\vec{V}}{2}$.

Таким образом, середина ребра `SV` первой пирамиды совпадает с серединой ребра `OV'_{(-V)}` второй пирамиды. Например, середина `SA` совпадает с серединой `OC'`, середина `SB` - с серединой `OD'` и т.д.

Это означает, что 4 середины боковых ребер исходной пирамиды (`M_{SA}, M_{SB}, M_{SC}, M_{SD}`) также являются вершинами многогранника пересечения.

Итак, мы получили 6 вершин: `S`, `O` и `M_{SA}, M_{SB}, M_{SC}, M_{SD}`.

4. Идентификация полученного многогранника.

Проверим, какой многогранник образуют эти 6 вершин.

• Четыре вершины `M_{SA}, M_{SB}, M_{SC}, M_{SD}` лежат в одной плоскости, проходящей через точку `E` параллельно основанию. Они образуют квадрат (так называемый "экватор" многогранника).
• Две оставшиеся вершины `S` и `O` являются "полюсами" этого многогранника.
• Вычислим длины ребер. Длина ребра "экваториального" квадрата равна половине длины ребра основания, т.е. $a/2$.
• Длина ребра, соединяющего полюс `S` с вершиной на экваторе (например, `M_{SC}`), равна длине отрезка `SM_{SC}`, что составляет половину длины бокового ребра `SC`, т.е. $a/2$.
• Аналогично, длина ребра `OM_{SC}` равна половине длины бокового ребра `OA'` симметричной пирамиды, которое также равно `a`, поэтому длина `OM_{SC}` равна $a/2$.

Все 12 ребер полученного многогранника (4 на "экваторе", 4 от верхнего полюса `S` и 4 от нижнего полюса `O`) имеют одинаковую длину $a/2$. Грани этого многогранника представляют собой 8 одинаковых равносторонних треугольников.

Многогранник с 6 вершинами, 12 равными ребрами и 8 гранями в виде равносторонних треугольников называется правильным октаэдром.

Ответ:

Правильный октаэдр.

7.26. Изобразите призму, симметричную правильной треугольной призме относительно прямой, проходящей через центры $O$ и $O_1$ оснований этой призмы (рис. 7.24). Какая фигура является общей частью исходной призмы и симметричной?

Рис. 7.24

Решение

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Основаниями призмы являются правильные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Точки $O$ и $O_1$ — центры этих треугольников (центры описанных и вписанных окружностей, точки пересечения медиан, биссектрис и высот). Прямая $OO_1$ является осью призмы.

Симметрия относительно прямой $OO_1$ представляет собой поворот в пространстве на угол $180^\circ$ вокруг этой прямой. Чтобы построить призму, симметричную данной, нужно повернуть исходную призму на $180^\circ$ вокруг оси $OO_1$.

При таком повороте каждая точка призмы переходит в симметричную ей точку.

1. Рассмотрим нижнее основание — треугольник $ABC$. Его центр $O$ лежит на оси вращения, поэтому точка $O$ останется на месте. Вершины $A, B, C$ перейдут в новые точки $A', B', C'$ соответственно. Точка $A'$ будет такой, что $O$ является серединой отрезка $AA'$. Аналогично, $O$ — середина отрезков $BB'$ и $CC'$. Получившийся треугольник $A'B'C'$ будет конгруэнтен исходному треугольнику $ABC$, но будет повернут относительно него на $180^\circ$.

2. Аналогично, верхнее основание $A_1B_1C_1$ при повороте вокруг оси $OO_1$ на $180^\circ$ перейдет в конгруэнтный ему треугольник $A'_1B'_1C'_1$, центр которого $O_1$ также останется на месте.

3. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ исходной призмы параллельны оси вращения $OO_1$. При повороте они перейдут в ребра $A'A'_1$, $B'B'_1$, $C'C'_1$, которые также будут параллельны оси $OO_1$.

Таким образом, симметричная призма $A'B'C'A'_1B'_1C'_1$ также является правильной треугольной призмой, конгруэнтной исходной.

Теперь найдем общую часть (пересечение) исходной и симметричной призм. Общая часть двух этих призм будет представлять собой тело, ограниченное снизу и сверху пересечением их оснований, а сбоку — частями их боковых граней. Высота этого тела будет равна высоте исходной призмы.

Основанием этого тела является фигура, полученная пересечением двух правильных треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ с общим центром $O$, причем второй треугольник повернут относительно первого на $180^\circ$. Такое пересечение образует правильный шестиугольник. Вершинами этого шестиугольника являются точки пересечения сторон треугольника $ABC$ со сторонами треугольника $A'B'C'$.

Следовательно, общая часть исходной и симметричной призм представляет собой призму, основанием которой является правильный шестиугольник, а высота равна высоте исходной призмы. Такая фигура называется правильной шестиугольной призмой.

Ответ: Общей частью исходной и симметричной призм является правильная шестиугольная призма.

7.27. Повторите аналитические способы задания прямой на плоскости. Попробуйте указать аналитическое задание прямой в пространстве.

Повторите аналитические способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости в декартовой системе координат может быть задана аналитически несколькими способами. Каждый из них удобен для решения определенного класса задач.

1. Общее уравнение прямой

Это уравнение вида $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$, $C$ – действительные числа, причем коэффициенты $A$ и $B$ не равны нулю одновременно ($A^2 + B^2 \neq 0$). Вектор с координатами $\vec{n} = (A, B)$ является нормальным (перпендикулярным) вектором к этой прямой.

2. Уравнение с угловым коэффициентом

Это уравнение вида $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$, а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. Данный вид не позволяет описать вертикальные прямые ($x = \text{const}$).

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Если известна точка $M_0(x_0, y_0)$, через которую проходит прямая, и её угловой коэффициент $k$, уравнение имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если прямая проходит через две различные точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, её уравнение можно записать как $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

5. Параметрические уравнения прямой

Прямая задается системой уравнений: $\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \end{cases}$, где $M_0(x_0, y_0)$ – точка на прямой, $\vec{s}=(l, m)$ – направляющий вектор прямой (вектор, параллельный прямой), а $t$ – параметр, принимающий любые действительные значения.

6. Каноническое уравнение прямой

Это уравнение вида $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m}$. Оно задает прямую, проходящую через точку $M_0(x_0, y_0)$ параллельно вектору $\vec{s}=(l, m)$. Каноническое уравнение получается из параметрического исключением параметра $t$.

Ответ: Основные аналитические способы задания прямой на плоскости включают: общее уравнение ($Ax+By+C=0$), уравнение с угловым коэффициентом ($y=kx+b$), а также уравнения, использующие точку и вектор – каноническое и параметрическое.

Попробуйте указать аналитическое задание прямой в пространстве.

В отличие от плоскости, в трехмерном пространстве одно линейное уравнение вида $Ax + By + Cz + D = 0$ задает не прямую, а плоскость. Поэтому для аналитического задания прямой в пространстве используются иные подходы, основанные на геометрии пространства.

1. Общие уравнения прямой (как линия пересечения двух плоскостей)

Прямую в пространстве можно определить как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Аналитически это задается системой двух линейных уравнений:

$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$

Эта система задает прямую при условии, что нормальные векторы плоскостей $\vec{n_1}=(A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2, C_2)$ не коллинеарны.

2. Параметрические уравнения прямой

По аналогии с двумерным случаем, прямую в пространстве можно задать, зная одну ее точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и направляющий вектор $\vec{s}=(l, m, n)$, который ей параллелен. Уравнения имеют вид:

$\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases}$, где $t \in \mathbb{R}$ – параметр.

3. Канонические уравнения прямой

Исключив параметр $t$ из параметрических уравнений, получим канонические уравнения прямой:

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

Здесь $(x_0, y_0, z_0)$ – координаты точки на прямой, а $(l, m, n)$ – координаты направляющего вектора $\vec{s}$. Если один из знаменателей равен нулю, соответствующий числитель также приравнивается к нулю.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если прямая проходит через две точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$, то в качестве направляющего вектора можно взять вектор $\vec{s} = \vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$. Тогда канонические уравнения примут вид:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$

Ответ: Прямую в пространстве можно аналитически задать либо как пересечение двух плоскостей (система двух линейных уравнений), либо с помощью точки и направляющего вектора (параметрические или канонические уравнения).