Номер 7.19, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.19. Сколько осей симметрии имеет:

а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) додекаэдр (рис. 7.22)?

Рис. 7.22

Решение

а) Октаэдр — это правильный многогранник (Платоново тело), у которого 8 граней (правильные треугольники), 12 рёбер и 6 вершин. Оси симметрии (оси вращения) октаэдра можно определить, рассмотрев элементы, через которые они проходят:
1. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. Всего у октаэдра $6 / 2 = 3$ пары противоположных вершин. Поворот вокруг такой оси на угол $360^{\circ}/4 = 90^{\circ}$ совмещает фигуру с собой. Это оси 4-го порядка. Таким образом, имеется 3 таких оси.
2. Оси, проходящие через середины пар противоположных рёбер. Всего у октаэдра $12 / 2 = 6$ пар противоположных рёбер. Поворот вокруг такой оси на угол $180^{\circ}$ совмещает фигуру с собой. Это оси 2-го порядка. Таким образом, имеется 6 таких осей.
3. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. Всего у октаэдра $8 / 2 = 4$ пары противоположных граней. Поворот вокруг такой оси на угол $360^{\circ}/3 = 120^{\circ}$ совмещает фигуру с собой. Это оси 3-го порядка. Таким образом, имеется 4 таких оси.
Общее количество осей симметрии октаэдра: $3 + 6 + 4 = 13$.
Ответ: 13.

б) Икосаэдр — это правильный многогранник с 20 гранями (правильные треугольники), 30 рёбрами и 12 вершинами. Его оси симметрии:
1. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. Всего $12 / 2 = 6$ пар. В каждой вершине сходится 5 граней, поэтому это оси 5-го порядка (поворот на $360^{\circ}/5 = 72^{\circ}$). Количество таких осей: 6.
2. Оси, проходящие через середины пар противоположных рёбер. Всего $30 / 2 = 15$ пар. Это оси 2-го порядка (поворот на $180^{\circ}$). Количество таких осей: 15.
3. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. Всего $20 / 2 = 10$ пар. Грани — треугольники, поэтому это оси 3-го порядка (поворот на $360^{\circ}/3 = 120^{\circ}$). Количество таких осей: 10.
Общее количество осей симметрии икосаэдра: $6 + 15 + 10 = 31$.
Ответ: 31.

в) Додекаэдр — это правильный многогранник с 12 гранями (правильные пятиугольники), 30 рёбрами и 20 вершинами. Его оси симметрии:
1. Оси, проходящие через центры пар противоположных граней. Всего $12 / 2 = 6$ пар. Грани — пятиугольники, поэтому это оси 5-го порядка (поворот на $360^{\circ}/5 = 72^{\circ}$). Количество таких осей: 6.
2. Оси, проходящие через середины пар противоположных рёбер. Всего $30 / 2 = 15$ пар. Это оси 2-го порядка (поворот на $180^{\circ}$). Количество таких осей: 15.
3. Оси, проходящие через пары противоположных вершин. Всего $20 / 2 = 10$ пар. В каждой вершине сходятся 3 грани, поэтому это оси 3-го порядка (поворот на $360^{\circ}/3 = 120^{\circ}$). Количество таких осей: 10.
Общее количество осей симметрии додекаэдра: $6 + 15 + 10 = 31$.
Ответ: 31.