Номер 7.22, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.22. Приведите примеры пространственных фигур, у которых:

а) есть центр симметрии, но нет оси симметрии;

б) есть ось симметрии, но нет центра симметрии.

а) есть центр симметрии, но нет оси симметрии

Сначала дадим определения. Центр симметрии пространственной фигуры — это такая точка $C$, что для любой точки $M$, принадлежащей фигуре, симметричная ей точка $M'$ относительно центра $C$ (то есть точка $C$ является серединой отрезка $MM'$) также принадлежит этой фигуре. Ось симметрии — это такая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 360^\circ$) фигура переходит сама в себя.

Примером фигуры, у которой есть центр симметрии, но нет оси симметрии, является косой параллелепипед в общем виде (у которого грани — произвольные параллелограммы, а боковые рёбра не перпендикулярны основаниям).

Объяснение:

1. Наличие центра симметрии. Центром симметрии любого параллелепипеда является точка пересечения его пространственных диагоналей. Эта точка делит каждую диагональ пополам. Следовательно, для любой точки параллелепипеда симметричная ей относительно этого центра точка также будет принадлежать параллелепипеду.

2. Отсутствие осей симметрии. Если косой параллелепипед не является прямым или прямоугольным, и его грани не являются ромбами, то у него нет ни одной прямой, поворот вокруг которой совмещал бы фигуру саму с собой. Любой поворот (кроме поворота на $360^\circ$) вокруг любой оси нарушит исходное положение вершин и рёбер из-за общего "скошенного" вида фигуры.

Ответ: Косой параллелепипед.

б) есть ось симметрии, но нет центра симметрии

Существует множество примеров таких фигур. Рассмотрим некоторые из них.

Пример 1: Правильная пирамида (например, треугольная или четырёхугольная).

Объяснение:

1. Наличие оси симметрии. Прямая, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр её основания, является осью симметрии. Например, для правильной четырёхугольной пирамиды поворот вокруг этой оси на $90^\circ$, $180^\circ$ или $270^\circ$ совмещает пирамиду саму с собой.

2. Отсутствие центра симметрии. У пирамиды нет центра симметрии. Если бы он существовал, то, например, вершина пирамиды должна была бы иметь симметричную ей точку, также принадлежащую фигуре. Однако любая точка, симметричная вершине, будет находиться вне пирамиды (под её основанием).

Пример 2: Прямой круговой конус.

Объяснение:

1. Наличие оси симметрии. Прямая, соединяющая вершину конуса с центром его основания, является его осью симметрии. Конус совмещается сам с собой при повороте на любой угол вокруг этой оси.

2. Отсутствие центра симметрии. Причина та же, что и для пирамиды: вершина конуса не имеет симметричной ей точки, принадлежащей конусу.

Пример 3: Правильная призма, основание которой не имеет центра симметрии (например, правильная треугольная призма).

Объяснение:

1. Наличие оси симметрии. У правильной треугольной призмы есть ось симметрии 3-го порядка (прямая, соединяющая центры оснований) и три оси 2-го порядка (прямые, проходящие через центр призмы перпендикулярно боковым граням).

2. Отсутствие центра симметрии. Геометрический центр призмы (середина отрезка, соединяющего центры оснований) не является центром симметрии. Если отразить любую вершину одного основания относительно этой точки, полученная точка не совпадет ни с одной из вершин другого основания.

Ответ: Правильная пирамида, прямой круговой конус, правильная треугольная призма.