Номер 7.25, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.25. На листе бумаги в клетку изобразите пирамиду, центрально-симметричную пирамиде $SABCD$ относительно середины $E$ высоты $SO$ (рис. 7.23). Считая ребра пирамиды равными, укажите название многогранника, являющего общей частью исходной пирамиды и центрально-симметричной.

Рис. 7.23

Дано:

Пирамида $SABCD$.

Основание $ABCD$ - квадрат.

$SO$ - высота пирамиды, $O$ - центр основания.

Все ребра пирамиды $SABCD$ равны между собой.

$E$ - середина высоты $SO$.

Пирамида $S'A'B'C'D'$ центрально-симметрична пирамиде $SABCD$ относительно точки $E$.

Найти:

Название многогранника, являющегося общей частью (пересечением) исходной и центрально-симметричной пирамид.

Решение:

1. Анализ исходной пирамиды и ее свойств.

Из условия, что все ребра пирамиды равны, следует, что ее основание $ABCD$ является квадратом, а боковые грани ($SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$) — равносторонними треугольниками. Такая пирамида является правильной.

Пусть длина ребра пирамиды равна $a$. Тогда стороны основания $AB=BC=CD=DA=a$, и боковые ребра $SA=SB=SC=SD=a$.

Найдем высоту пирамиды $SO$. Точка $O$ является центром квадрата $ABCD$. Длина диагонали квадрата $AC$ равна $a\sqrt{2}$. Отрезок $OC$, являющийся половиной диагонали, равен $OC = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$. По теореме Пифагора найдем катет $SO$:

$SO^2 = SC^2 - OC^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$

Следовательно, высота пирамиды $SO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Построение центрально-симметричной пирамиды.

Центральная симметрия относительно точки $E$ преобразует любую точку $P$ пространства в точку $P'$ так, что $E$ является серединой отрезка $PP'$. Векторно это можно записать как $\vec{EP'} = -\vec{EP}$.

Найдем образы вершин исходной пирамиды $SABCD$ при симметрии относительно точки $E$ (середины $SO$):

• Вершина $S$ переходит в точку $O$, так как $E$ - середина $SO$.
• Центр основания $O$ переходит в точку $S$.
• Основание $ABCD$ переходит в конгруэнтное ему основание $A'B'C'D'$, которое лежит в плоскости, проходящей через точку $S$ параллельно плоскости $ABCD$.

Таким образом, симметричная пирамида $S'A'B'C'D'$ — это пирамида с вершиной в точке $O$ и основанием $A'B'C'D'$, конгруэнтная исходной и ориентированная "вниз".

3. Определение многогранника пересечения.

Многогранник, являющийся пересечением двух этих пирамид, будет выпуклым и центрально-симметричным относительно точки $E$. Его вершинами являются точки пересечения ребер одной пирамиды с гранями другой.

Выявим вершины этого многогранника:

• Вершина $S$ исходной пирамиды лежит на плоскости основания симметричной пирамиды. Следовательно, $S$ является вершиной искомого многогранника.
• Вершина $O$ симметричной пирамиды лежит на плоскости основания исходной пирамиды. Следовательно, $O$ также является вершиной многогранника.
• Остальные вершины образуются при пересечении боковых ребер одной пирамиды с боковыми ребрами другой. Покажем, что середины боковых ребер первой пирамиды совпадают с серединами боковых ребер второй.

Выберем начало координат в точке $O$. Тогда для любой вершины основания $V$ (например, $A$) противоположная ей вершина равна $-V$ (для $A$ это $C$). Вершина $S$ лежит на оси $z$. Образ вершины $V$ при симметрии будет $V' = \vec{S}-\vec{V}$.

Середина бокового ребра $SV$ первой пирамиды: $M_{SV} = \frac{\vec{S}+\vec{V}}{2}$.

Рассмотрим боковое ребро $OV'_{(-V)}$ второй пирамиды. Его вершина $V'_{(-V)} = \vec{S}-(-\vec{V}) = \vec{S}+\vec{V}$.

Середина этого ребра: $M_{OV'_{(-V)}} = \frac{\vec{O}+\vec{V}'_{(-V)}}{2} = \frac{\vec{S}+\vec{V}}{2}$.

Таким образом, середина ребра $SV$ первой пирамиды совпадает с серединой ребра $OV'_{(-V)}$ второй пирамиды. Например, середина $SA$ совпадает с серединой $OC'$, середина $SB$ - с серединой $OD'$ и т.д.

Это означает, что 4 середины боковых ребер исходной пирамиды ($M_{SA}, M_{SB}, M_{SC}, M_{SD}$) также являются вершинами многогранника пересечения.

Итак, мы получили 6 вершин: $S$, $O$ и $M_{SA}, M_{SB}, M_{SC}, M_{SD}$.

4. Идентификация полученного многогранника.

Проверим, какой многогранник образуют эти 6 вершин.

• Четыре вершины $M_{SA}, M_{SB}, M_{SC}, M_{SD}$ лежат в одной плоскости, проходящей через точку $E$ параллельно основанию. Они образуют квадрат (так называемый "экватор" многогранника).
• Две оставшиеся вершины $S$ и $O$ являются "полюсами" этого многогранника.
• Вычислим длины ребер. Длина ребра "экваториального" квадрата равна половине длины ребра основания, т.е. $a/2$.
• Длина ребра, соединяющего полюс $S$ с вершиной на экваторе (например, $M_{SC}$), равна длине отрезка $SM_{SC}$, что составляет половину длины бокового ребра $SC$, т.е. $a/2$.
• Аналогично, длина ребра $OM_{SC}$ равна половине длины бокового ребра $OA'$ симметричной пирамиды, которое также равно $a$, поэтому длина $OM_{SC}$ равна $a/2$.

Все 12 ребер полученного многогранника (4 на "экваторе", 4 от верхнего полюса $S$ и 4 от нижнего полюса $O$) имеют одинаковую длину $a/2$. Грани этого многогранника представляют собой 8 одинаковых равносторонних треугольников.

Многогранник с 6 вершинами, 12 равными ребрами и 8 гранями в виде равносторонних треугольников называется правильным октаэдром.

Ответ:

Правильный октаэдр.