Номер 7.25, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.25. На листе бумаги в клетку изобразите пирамиду, центрально-симметричную пирамиде $SABCD$ относительно середины $E$ высоты $SO$ (рис. 7.23). Считая ребра пирамиды равными, укажите название многогранника, являющего общей частью исходной пирамиды и центрально-симметричной.

Рис. 7.23

Дано:

Пирамида `SABCD`.

Основание `ABCD` - квадрат.

`SO` - высота пирамиды, `O` - центр основания.

Все ребра пирамиды `SABCD` равны между собой.

`E` - середина высоты `SO`.

Пирамида `S'A'B'C'D'` центрально-симметрична пирамиде `SABCD` относительно точки `E`.

Найти:

Название многогранника, являющегося общей частью (пересечением) исходной и центрально-симметричной пирамид.

Решение:

1. Анализ исходной пирамиды и ее свойств.

Из условия, что все ребра пирамиды равны, следует, что ее основание `ABCD` является квадратом, а боковые грани (`SAB`, `SBC`, `SCD`, `SDA`) — равносторонними треугольниками. Такая пирамида является правильной.

Пусть длина ребра пирамиды равна `a`. Тогда стороны основания `AB=BC=CD=DA=a`, и боковые ребра `SA=SB=SC=SD=a`.

Найдем высоту пирамиды `SO`. Точка `O` является центром квадрата `ABCD`. Длина диагонали квадрата `AC` равна $a\sqrt{2}$. Отрезок `OC`, являющийся половиной диагонали, равен $OC = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `SOC`. По теореме Пифагора найдем катет `SO`:

$SO^2 = SC^2 - OC^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$

Следовательно, высота пирамиды $SO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

2. Построение центрально-симметричной пирамиды.

Центральная симметрия относительно точки `E` преобразует любую точку `P` пространства в точку `P'` так, что `E` является серединой отрезка `PP'`. Векторно это можно записать как $\vec{EP'} = -\vec{EP}$.

Найдем образы вершин исходной пирамиды `SABCD` при симметрии относительно точки `E` (середины `SO`):

• Вершина `S` переходит в точку `O`, так как `E` - середина `SO`.
• Центр основания `O` переходит в точку `S`.
• Основание `ABCD` переходит в конгруэнтное ему основание `A'B'C'D'`, которое лежит в плоскости, проходящей через точку `S` параллельно плоскости `ABCD`.

Таким образом, симметричная пирамида `S'A'B'C'D'` — это пирамида с вершиной в точке `O` и основанием `A'B'C'D'`, конгруэнтная исходной и ориентированная "вниз".

3. Определение многогранника пересечения.

Многогранник, являющийся пересечением двух этих пирамид, будет выпуклым и центрально-симметричным относительно точки `E`. Его вершинами являются точки пересечения ребер одной пирамиды с гранями другой.

Выявим вершины этого многогранника:

• Вершина `S` исходной пирамиды лежит на плоскости основания симметричной пирамиды. Следовательно, `S` является вершиной искомого многогранника.
• Вершина `O` симметричной пирамиды лежит на плоскости основания исходной пирамиды. Следовательно, `O` также является вершиной многогранника.
• Остальные вершины образуются при пересечении боковых ребер одной пирамиды с боковыми ребрами другой. Покажем, что середины боковых ребер первой пирамиды совпадают с серединами боковых ребер второй.

Выберем начало координат в точке `O`. Тогда для любой вершины основания `V` (например, `A`) противоположная ей вершина равна `-V` (для `A` это `C`). Вершина `S` лежит на оси `z`. Образ вершины `V` при симметрии будет $V' = \vec{S}-\vec{V}$.

Середина бокового ребра `SV` первой пирамиды: $M_{SV} = \frac{\vec{S}+\vec{V}}{2}$.

Рассмотрим боковое ребро `OV'_{(-V)}` второй пирамиды. Его вершина $V'_{(-V)} = \vec{S}-(-\vec{V}) = \vec{S}+\vec{V}$.

Середина этого ребра: $M_{OV'_{(-V)}} = \frac{\vec{O}+\vec{V}'_{(-V)}}{2} = \frac{\vec{S}+\vec{V}}{2}$.

Таким образом, середина ребра `SV` первой пирамиды совпадает с серединой ребра `OV'_{(-V)}` второй пирамиды. Например, середина `SA` совпадает с серединой `OC'`, середина `SB` - с серединой `OD'` и т.д.

Это означает, что 4 середины боковых ребер исходной пирамиды (`M_{SA}, M_{SB}, M_{SC}, M_{SD}`) также являются вершинами многогранника пересечения.

Итак, мы получили 6 вершин: `S`, `O` и `M_{SA}, M_{SB}, M_{SC}, M_{SD}`.

4. Идентификация полученного многогранника.

Проверим, какой многогранник образуют эти 6 вершин.

• Четыре вершины `M_{SA}, M_{SB}, M_{SC}, M_{SD}` лежат в одной плоскости, проходящей через точку `E` параллельно основанию. Они образуют квадрат (так называемый "экватор" многогранника).
• Две оставшиеся вершины `S` и `O` являются "полюсами" этого многогранника.
• Вычислим длины ребер. Длина ребра "экваториального" квадрата равна половине длины ребра основания, т.е. $a/2$.
• Длина ребра, соединяющего полюс `S` с вершиной на экваторе (например, `M_{SC}`), равна длине отрезка `SM_{SC}`, что составляет половину длины бокового ребра `SC`, т.е. $a/2$.
• Аналогично, длина ребра `OM_{SC}` равна половине длины бокового ребра `OA'` симметричной пирамиды, которое также равно `a`, поэтому длина `OM_{SC}` равна $a/2$.

Все 12 ребер полученного многогранника (4 на "экваторе", 4 от верхнего полюса `S` и 4 от нижнего полюса `O`) имеют одинаковую длину $a/2$. Грани этого многогранника представляют собой 8 одинаковых равносторонних треугольников.

Многогранник с 6 вершинами, 12 равными ребрами и 8 гранями в виде равносторонних треугольников называется правильным октаэдром.

Ответ:

Правильный октаэдр.