Номер 7.27, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.27. Повторите аналитические способы задания прямой на плоскости. Попробуйте указать аналитическое задание прямой в пространстве.

Повторите аналитические способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости в декартовой системе координат может быть задана аналитически несколькими способами. Каждый из них удобен для решения определенного класса задач.

1. Общее уравнение прямой

Это уравнение вида $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$, $C$ – действительные числа, причем коэффициенты $A$ и $B$ не равны нулю одновременно ($A^2 + B^2 \neq 0$). Вектор с координатами $\vec{n} = (A, B)$ является нормальным (перпендикулярным) вектором к этой прямой.

2. Уравнение с угловым коэффициентом

Это уравнение вида $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$, а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. Данный вид не позволяет описать вертикальные прямые ($x = \text{const}$).

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Если известна точка $M_0(x_0, y_0)$, через которую проходит прямая, и её угловой коэффициент $k$, уравнение имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если прямая проходит через две различные точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, её уравнение можно записать как $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

5. Параметрические уравнения прямой

Прямая задается системой уравнений: $\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \end{cases}$, где $M_0(x_0, y_0)$ – точка на прямой, $\vec{s}=(l, m)$ – направляющий вектор прямой (вектор, параллельный прямой), а $t$ – параметр, принимающий любые действительные значения.

6. Каноническое уравнение прямой

Это уравнение вида $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m}$. Оно задает прямую, проходящую через точку $M_0(x_0, y_0)$ параллельно вектору $\vec{s}=(l, m)$. Каноническое уравнение получается из параметрического исключением параметра $t$.

Ответ: Основные аналитические способы задания прямой на плоскости включают: общее уравнение ($Ax+By+C=0$), уравнение с угловым коэффициентом ($y=kx+b$), а также уравнения, использующие точку и вектор – каноническое и параметрическое.

Попробуйте указать аналитическое задание прямой в пространстве.

В отличие от плоскости, в трехмерном пространстве одно линейное уравнение вида $Ax + By + Cz + D = 0$ задает не прямую, а плоскость. Поэтому для аналитического задания прямой в пространстве используются иные подходы, основанные на геометрии пространства.

1. Общие уравнения прямой (как линия пересечения двух плоскостей)

Прямую в пространстве можно определить как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Аналитически это задается системой двух линейных уравнений:

$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$

Эта система задает прямую при условии, что нормальные векторы плоскостей $\vec{n_1}=(A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2, C_2)$ не коллинеарны.

2. Параметрические уравнения прямой

По аналогии с двумерным случаем, прямую в пространстве можно задать, зная одну ее точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и направляющий вектор $\vec{s}=(l, m, n)$, который ей параллелен. Уравнения имеют вид:

$\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases}$, где $t \in \mathbb{R}$ – параметр.

3. Канонические уравнения прямой

Исключив параметр $t$ из параметрических уравнений, получим канонические уравнения прямой:

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

Здесь $(x_0, y_0, z_0)$ – координаты точки на прямой, а $(l, m, n)$ – координаты направляющего вектора $\vec{s}$. Если один из знаменателей равен нулю, соответствующий числитель также приравнивается к нулю.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Если прямая проходит через две точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$, то в качестве направляющего вектора можно взять вектор $\vec{s} = \vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$. Тогда канонические уравнения примут вид:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$

Ответ: Прямую в пространстве можно аналитически задать либо как пересечение двух плоскостей (система двух линейных уравнений), либо с помощью точки и направляющего вектора (параметрические или канонические уравнения).