Номер 7.21, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.21. Может ли центр симметрии пространственной фигуры не принадлежать ей? Приведите примеры.

Может ли центр симметрии пространственной фигуры не принадлежать ей?

Да, центр симметрии пространственной фигуры может не принадлежать самой фигуре. По определению, точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$, если для любой точки $P$, принадлежащей фигуре $F$, точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно $O$, также принадлежит фигуре $F$. В этом определении не содержится требования о принадлежности самого центра симметрии $O$ фигуре $F$.

Ответ: Да, может.

Приведите примеры.

В качестве примеров можно привести следующие пространственные фигуры:

1. Две параллельные плоскости. Рассмотрим фигуру $F$, образованную объединением двух параллельных плоскостей $\alpha_1$ и $\alpha_2$, заданных уравнениями $z = c$ и $z = -c$ соответственно, где $c$ — действительное число, не равное нулю ($c \ne 0$). Центром симметрии данной фигуры является начало координат, точка $O(0, 0, 0)$. Для любой точки $M(x, y, c)$, принадлежащей плоскости $\alpha_1$, симметричная ей относительно $O$ точка $M'(-x, -y, -c)$ принадлежит плоскости $\alpha_2$, и, следовательно, принадлежит фигуре $F$. Аналогичное утверждение верно и для любой точки плоскости $\alpha_2$. Таким образом, точка $O$ является центром симметрии. Однако сама точка $O(0, 0, 0)$ не принадлежит фигуре $F$, так как её аппликата $z=0$, в то время как все точки фигуры $F$ имеют аппликаты, равные либо $c$, либо $-c$.

2. Сферический слой. Рассмотрим фигуру $F$, которая представляет собой область пространства, заключенную между двумя концентрическими сферами с общим центром в начале координат $O(0, 0, 0)$ и радиусами $r$ и $R$, причём $0 < r < R$. Множество точек $P(x, y, z)$, составляющих эту фигуру, удовлетворяет двойному неравенству $r < \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} < R$. Точка $O$ является центром симметрии этой фигуры, так как для любой точки $P$ из этого слоя симметричная ей точка $P'$ будет находиться на том же расстоянии от центра, а значит, также будет принадлежать слою. Но сама точка $O(0, 0, 0)$ фигуре $F$ не принадлежит, поскольку расстояние от неё до себя самой равно нулю, что не удовлетворяет неравенству ($0$ не больше $r$).

3. Полый цилиндр (цилиндрическая труба). Рассмотрим фигуру, ограниченную двумя соосными цилиндрическими поверхностями с радиусами $r$ и $R$ ($0 < r < R$) и двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными оси цилиндров, например, $z=h$ и $z=-h$ ($h>0$). Центром симметрии такой фигуры является точка $O(0, 0, 0)$. Эта точка лежит на оси симметрии в геометрическом центре фигуры, но не принадлежит ей, так как находится в пустом пространстве внутри трубы.

Ответ: Примерами пространственных фигур, центр симметрии которых им не принадлежит, являются: две параллельные плоскости, сферический слой, полый цилиндр.