Номер 7.18, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.18. Сколько плоскостей симметрии у правильной:

а) $n$-угольной призмы;

б) $n$-угольной пирамиды?

а) n-угольной призмы

Решение: Плоскости симметрии правильной n-угольной призмы можно разделить на два типа:

1. Вертикальные плоскости симметрии. Эти плоскости проходят через ось симметрии призмы (линию, соединяющую центры оснований) и перпендикулярны основаниям. Количество таких плоскостей равно количеству осей симметрии у правильного n-угольника, который лежит в основании. Правильный n-угольник имеет ровно $n$ осей симметрии.

• Если $n$ нечетное, то все $n$ осей симметрии проходят через вершину и середину противоположной стороны.
• Если $n$ четное, то $n/2$ осей симметрии проходят через противоположные вершины, а другие $n/2$ осей проходят через середины противоположных сторон.

2. Горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость параллельна основаниям призмы и проходит через середину её высоты, разделяя призму на две зеркально-симметричные части. Такая плоскость всего одна.

Суммируя количество плоскостей обоих типов, получаем общее число плоскостей симметрии: $n + 1$.

Ответ: $n + 1$.

б) n-угольной пирамиды

Решение: У правильной n-угольной пирамиды (пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, а вершина проецируется в его центр) все плоскости симметрии являются вертикальными. Они проходят через вершину пирамиды и её ось (отрезок, соединяющий вершину с центром основания).

Горизонтальной плоскости симметрии, параллельной основанию, у пирамиды нет, так как части, на которые она бы разделила пирамиду (усеченная пирамида и малая пирамида), не были бы зеркально-симметричными.

Количество вертикальных плоскостей симметрии равно количеству осей симметрии у правильного n-угольника, лежащего в основании. Как было указано в предыдущем пункте, правильный n-угольник имеет $n$ осей симметрии. Каждая из этих осей вместе с вершиной пирамиды задаёт плоскость симметрии.

Следовательно, у правильной n-угольной пирамиды ровно $n$ плоскостей симметрии.

Ответ: $n$.