Номер 7.12, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

рис. 7.21

7.12. Имеет ли центр симметрии:

а) октаэдр;

б) икосаэдр;

в) додекаэдр (рис. 7.22)?

Рис. 7.22

Решение

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка O, что для любой точки M, принадлежащей фигуре, симметричная ей точка M' относительно центра O также принадлежит этой фигуре. Все три многогранника, представленные на рисунке (октаэдр, икосаэдр и додекаэдр), являются правильными многогранниками (Платоновыми телами) и обладают центральной симметрией.

а) октаэдр

Правильный октаэдр имеет центр симметрии. Этот центр является его геометрическим центром — точкой пересечения диагоналей, соединяющих противоположные вершины. Для любой точки на поверхности или внутри октаэдра точка, симметричная ей относительно этого центра, также будет принадлежать октаэдру. Каждая из 6 вершин имеет противоположную вершину, каждое из 12 ребер — противоположное ребро, и каждая из 8 граней — противоположную и параллельную ей грань.

Ответ: да, имеет.

б) икосаэдр

Правильный икосаэдр имеет центр симметрии. Он расположен в его геометрическом центре. Для каждой из 12 вершин, 30 ребер и 20 граней икосаэдра существует симметричный элемент относительно этого центра. Например, для любой вершины можно найти диаметрально противоположную ей вершину.

Ответ: да, имеет.

в) додекаэдр

Правильный додекаэдр также имеет центр симметрии, совпадающий с его геометрическим центром. Преобразование центральной симметрии относительно этой точки отображает додекаэдр на себя. Каждая из 12 граней (пятиугольников) имеет противоположную и параллельную ей грань. Аналогично, каждая из 20 вершин и 30 ребер имеет свой симметричный аналог.

Ответ: да, имеет.