Номер 7.5, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.5. Имеет ли правильная шестиугольная призма (рис. 7.17):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

$A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$, $F_1$

Рис. 7.17

а) центр симметрии

Да, правильная шестиугольная призма имеет центр симметрии. Центром симметрии называется точка, относительно которой любая точка фигуры симметрична другой точке этой же фигуры. Для правильной шестиугольной призмы такой точкой является середина отрезка, соединяющего центры её оснований. Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований (правильных шестиугольников), которые сами по себе являются центросимметричными фигурами. Центр симметрии всей призмы будет находиться в середине отрезка $OO_1$. При симметрии относительно этой точки каждая вершина, ребро или грань призмы отображается на другую соответствующую вершину, ребро или грань. Например, вершина $A$ нижнего основания симметрична вершине $D_1$ верхнего основания.

Ответ: да, имеет.

б) оси симметрии

Да, правильная шестиугольная призма имеет оси симметрии. Ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (меньше $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. У правильной шестиугольной призмы существует 7 осей симметрии:
1. Одна ось шестого порядка. Это прямая, проходящая через центры верхнего и нижнего оснований. Поворот вокруг этой оси на угол $k \cdot 60^\circ$ (где $k = 1, 2, 3, 4, 5$) совмещает призму саму с собой.
2. Шесть осей второго порядка (поворот на $180^\circ$). Эти оси лежат в плоскости, параллельной основаниям и проходящей через середину высоты призмы. Они делятся на два типа:
- Три оси, проходящие через середины противоположных боковых рёбер (например, ось, соединяющая середины рёбер $AA_1$ и $DD_1$).
- Три оси, проходящие через центры противоположных боковых граней (например, ось, соединяющая центры граней $ABB_1A_1$ и $DEE_1D_1$).

Ответ: да, имеет.

в) плоскости симметрии

Да, правильная шестиугольная призма имеет плоскости симметрии. Плоскость симметрии делит фигуру на две зеркально равные части. У правильной шестиугольной призмы существует 7 плоскостей симметрии:
1. Одна горизонтальная плоскость. Она параллельна основаниям и проходит через середину высоты призмы.
2. Шесть вертикальных плоскостей. Эти плоскости проходят через главную ось симметрии (ось шестого порядка) и делятся на два типа:
- Три диагональные плоскости, которые проходят через противоположные боковые рёбра призмы (например, плоскость, содержащая рёбра $AA_1$ и $DD_1$).
- Три плоскости, которые проходят через середины противоположных сторон оснований, а следовательно, и через середины противоположных боковых граней (например, плоскость, проходящая через середины рёбер $AB$ и $A_1B_1$ и середины рёбер $ED$ и $E_1D_1$).

Ответ: да, имеет.