Номер 7.4, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7.4. Имеет ли правильная треугольная призма (рис. 7.16):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 7.16

Решение

Рассмотрим правильную треугольную призму. В основании такой призмы лежат два равных равносторонних треугольника (назовём их $ABC$ и $A_1B_1C_1$), а боковые грани являются равными прямоугольниками, перпендикулярными основаниям.

а) центр симметрии

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка, относительно которой фигура симметрична. Это означает, что для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно центра также принадлежит фигуре.
У правильной треугольной призмы нет центра симметрии. Если бы он существовал, он бы находился на середине отрезка, соединяющего центры оснований. При симметрии относительно этой точки любая вершина, например $A$, должна была бы отобразиться в другую вершину призмы. Однако в правильной треугольной призме, основанием которой является многоугольник с нечётным числом вершин (треугольник), нет вершины, расположенной "диагонально противоположно" вершине $A$. Точка, симметричная вершине $A$, не совпадает ни с одной из вершин верхнего основания ($A_1$, $B_1$ или $C_1$). Следовательно, центр симметрии отсутствует.
Ответ: нет, правильная треугольная призма не имеет центра симметрии.

б) оси симметрии

Осью симметрии называется прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (меньше $360^\circ$) фигура переходит сама в себя.
Правильная треугольная призма имеет оси симметрии. Их можно разделить на два типа:
1. Одна ось симметрии 3-го порядка. Это прямая, проходящая через центры оснований (центроиды равносторонних треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$). Поворот вокруг этой оси на $120^\circ$ или $240^\circ$ совмещает призму саму с собой.
2. Три оси симметрии 2-го порядка. Эти оси лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и равноудалена от них. Каждая из этих осей является осью симметрии для равностороннего треугольника, получающегося в сечении призмы этой плоскостью. Поворот на $180^\circ$ вокруг любой из этих трёх осей совмещает призму саму с собой.
Всего у правильной треугольной призмы $1 + 3 = 4$ оси симметрии.
Ответ: да, имеет 4 оси симметрии (одну 3-го порядка и три 2-го порядка).

в) плоскости симметрии

Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части.
Правильная треугольная призма имеет плоскости симметрии. Их можно разделить на два типа:
1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Она параллельна основаниям и проходит через середину высоты призмы. Отражение относительно этой плоскости меняет местами верхнее и нижнее основания.
2. Три вертикальные плоскости симметрии. Каждая из этих плоскостей проходит через главную ось симметрии (ось 3-го порядка) и одну из высот основания (которые в равностороннем треугольнике являются также медианами и биссектрисами). Каждая такая плоскость перпендикулярна одной из сторон основания.
Всего у правильной треугольной призмы $1 + 3 = 4$ плоскости симметрии.
Ответ: да, имеет 4 плоскости симметрии (одну горизонтальную и три вертикальные).