Страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какие точки пространства называются центрально-симметричными?

2. Какое преобразование пространства называется центральной симметрией?

3. Какие две фигуры в пространстве называются центрально-симметричными?

4. Какая фигура в пространстве называется центрально-симметричной?

5. Какие точки называются симметричными относительно оси?

6. Какое преобразование пространства называется осевой симметрией?

7. Какие две фигуры в пространстве называются симметричными относительно оси?

8. Какая фигура в пространстве называется симметричной относительно оси?

9. Какие точки пространства называются симметричными относительно плоскости?

10. Какое преобразование пространства называется зеркальной симметрией?

11. Какие две фигуры в пространстве называются зеркально-симметричными?

12. Какая фигура в пространстве называется зеркально-симметричной?

13. Форму какого многогранника имеют кристаллы поваренной соли?

14. Форму какого многогранника имеют кристаллы кварца?

15. В форме какого многогранника чаще всего встречаются кристаллы алмаза?

16. Форму какого многогранника имеют кристаллы исландского шпата?

1. Какие точки пространства называются центрально-симметричными?
Две точки A и A' в пространстве называются симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка AA'. Точка O считается симметричной самой себе. Это означает, что векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OA'}$ равны по модулю и противоположны по направлению, то есть $\vec{OA} = -\vec{OA'}$.
Ответ: Две точки называются центрально-симметричными, если центр симметрии является серединой отрезка, соединяющего эти точки.

2. Какое преобразование пространства называется центральной симметрией?
Центральная симметрия относительно точки O — это такое преобразование пространства, при котором любая точка M переходит в такую точку M', что O является серединой отрезка MM'. Такое преобразование также называют симметрией с центром O.
Ответ: Преобразование пространства, при котором каждая точка переходит в симметричную ей точку относительно заданного центра.

3. Какие две фигуры в пространстве называются центрально-симметричными?
Две фигуры F и F' называются центрально-симметричными относительно точки O, если одна фигура может быть получена из другой путем преобразования центральной симметрии с центром O. То есть, для каждой точки фигуры F соответствующая ей центрально-симметричная точка принадлежит фигуре F', и наоборот.
Ответ: Две фигуры, одна из которых является образом другой при центральной симметрии.

4. Какая фигура в пространстве называется центрально-симметричной?
Фигура называется центрально-симметричной, если существует такая точка O (центр симметрии), что преобразование центральной симметрии относительно этой точки переводит фигуру саму в себя. Примерами таких фигур являются шар, куб, параллелепипед, сфера.
Ответ: Фигура, которая при центральной симметрии относительно некоторой точки (её центра) отображается сама на себя.

5. Какие точки называются симметричными относительно оси?
Две точки A и A' называются симметричными относительно прямой l (оси симметрии), если эта прямая проходит через середину отрезка AA' и перпендикулярна ему. Любая точка, лежащая на оси l, считается симметричной самой себе.
Ответ: Точки, для которых данная прямая (ось) проходит через середину соединяющего их отрезка и перпендикулярна ему.

6. Какое преобразование пространства называется осевой симметрией?
Осевая симметрия относительно прямой l — это такое преобразование пространства, при котором любая точка M переходит в симметричную ей точку M' относительно оси l. Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками.
Ответ: Преобразование пространства, при котором каждая точка переходит в симметричную ей точку относительно заданной оси.

7. Какие две фигуры в пространстве называются симметричными относительно оси?
Две фигуры F и F' называются симметричными относительно оси l, если одна из них является образом другой при преобразовании осевой симметрии с осью l.
Ответ: Две фигуры, одна из которых является образом другой при осевой симметрии.

8. Какая фигура в пространстве называется симметричной относительно оси?
Фигура называется симметричной относительно оси l, если преобразование осевой симметрии с этой осью переводит фигуру саму в себя. Прямая l в этом случае называется осью симметрии фигуры. Примерами таких фигур являются цилиндр, конус, шар.
Ответ: Фигура, которая при осевой симметрии относительно некоторой прямой (её оси) отображается сама на себя.

9. Какие точки пространства называются симметричными относительно плоскости?
Две точки A и A' называются симметричными относительно плоскости $\alpha$ (плоскости симметрии), если эта плоскость проходит через середину отрезка AA' и перпендикулярна ему. Любая точка, принадлежащая плоскости $\alpha$, считается симметричной самой себе.
Ответ: Точки, для которых данная плоскость проходит через середину соединяющего их отрезка и перпендикулярна ему.

10. Какое преобразование пространства называется зеркальной симметрией?
Зеркальной симметрией (или симметрией относительно плоскости $\alpha$) называется такое преобразование пространства, при котором любая точка M переходит в симметричную ей точку M' относительно плоскости $\alpha$.
Ответ: Преобразование пространства, при котором каждая точка переходит в симметричную ей точку относительно заданной плоскости.

11. Какие две фигуры в пространстве называются зеркально-симметричными?
Две фигуры F и F' называются зеркально-симметричными, если одна из них получается из другой преобразованием зеркальной симметрии (симметрии относительно плоскости). Примером могут служить левая и правая рука человека.
Ответ: Две фигуры, одна из которых является образом другой при симметрии относительно плоскости.

12. Какая фигура в пространстве называется зеркально-симметричной?
Фигура называется зеркально-симметричной, если существует такая плоскость $\alpha$ (плоскость симметрии), что преобразование зеркальной симметрии относительно этой плоскости переводит фигуру саму в себя. Например, у конуса или куба есть плоскости симметрии.
Ответ: Фигура, которая при симметрии относительно некоторой плоскости отображается сама на себя.

13. Форму какого многогранника имеют кристаллы поваренной соли?
Кристаллы поваренной соли (хлорида натрия, NaCl) имеют кубическую кристаллическую решетку, поэтому их естественная форма — это куб.
Ответ: Кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

14. Форму какого многогранника имеют кристаллы кварца?
Кристаллы кварца (диоксида кремния, SiO₂) чаще всего имеют форму шестигранной призмы, которая с одной или с обеих сторон заканчивается шестигранными пирамидами.
Ответ: Кристаллы кварца имеют форму шестигранной призмы, часто увенчанной пирамидами.

15. В форме какого многогранника чаще всего встречаются кристаллы алмаза?
Алмаз, являясь аллотропной модификацией углерода, кристаллизуется в кубической сингонии. Наиболее распространенной формой его кристаллов является октаэдр (правильный восьмигранник).
Ответ: Кристаллы алмаза чаще всего встречаются в форме октаэдра.

16. Форму какого многогранника имеют кристаллы исландского шпата?
Исландский шпат — это прозрачная разновидность кальцита (карбоната кальция, CaCO₃). Его кристаллы имеют форму ромбоэдра — многогранника, все шесть граней которого являются равными ромбами.
Ответ: Кристаллы исландского шпата имеют форму ромбоэдра.

7.1. Приведите примеры центрально-симметричных и не центрально-симметричных фигур в пространстве.

Фигура в пространстве называется центрально-симметричной, если существует такая точка $O$, называемая центром симметрии, что для любой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно центра $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $A'$ находится на прямой $AO$ на том же расстоянии от $O$, что и точка $A$, но с другой стороны. Иными словами, точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Если поместить центр симметрии $O$ в начало координат, то для любой точки фигуры с координатами $(x, y, z)$ симметричная ей точка с координатами $(-x, -y, -z)$ также будет принадлежать этой фигуре.

Если для фигуры не существует ни одной такой точки $O$, то она называется не центрально-симметричной.

Примеры центрально-симметричных фигур в пространстве

К таким фигурам относятся те, которые имеют центр симметрии.

• Шар: центром симметрии является его геометрический центр.
• Куб: центром симметрии является точка пересечения его пространственных диагоналей.
• Параллелепипед: центром симметрии также является точка пересечения его диагоналей.
• Отрезок: центром симметрии является его середина.
• Прямая линия: любая точка на прямой является ее центром симметрии.
• Плоскость: любая точка на плоскости является ее центром симметрии.
• Правильный октаэдр: центром симметрии является его геометрический центр.

Примеры не центрально-симметричных фигур в пространстве

Эти фигуры не имеют точки, относительно которой вся фигура была бы симметрична самой себе.

• Тетраэдр (включая правильный): у него есть оси и плоскости симметрии, но нет центра симметрии. Вершины не имеют симметричных им вершин относительно какой-либо внутренней точки.
• Конус: не имеет центра симметрии. Уникальная точка — вершина — не имеет симметричной ей точки в пределах фигуры.
• Пирамида (любая): как и конус, не имеет центра симметрии из-за наличия единственной вершины, не имеющей симметричной пары.
• Полусфера: не имеет центра симметрии.
• Треугольная призма: поскольку ее основание (треугольник) не является центрально-симметричной фигурой на плоскости, сама призма также не является центрально-симметричной.
• Произвольные фигуры: большинство объектов в реальном мире, например, стул, чашка, человеческая рука, не являются центрально-симметричными.

Ответ:

Примеры центрально-симметричных фигур в пространстве: шар, куб, параллелепипед, отрезок, прямая, плоскость.

Примеры не центрально-симметричных фигур в пространстве: тетраэдр, конус, любая пирамида, полусфера, треугольная призма.

7.2. Имеет ли куб (рис. 7.14):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Формулы, распознанные на изображении: $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$

Рис. 7.14

а)

Центр симметрии фигуры – это такая точка $O$, что для любой точки $M$ фигуры, точка $M'$, симметричная $M$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Куб имеет центр симметрии. Этим центром является точка пересечения его пространственных диагоналей (например, диагоналей $AC_1$ и $BD_1$ на рисунке). Эта точка является геометрическим центром куба. Если взять любую точку, принадлежащую кубу, и отразить ее симметрично относительно этого центра, полученная точка также будет принадлежать кубу. Например, вершина $A$ симметрична вершине $C_1$, вершина $B$ — вершине $D_1$, центр грани $ABCD$ — центру грани $A_1B_1C_1D_1$ и так далее.

Ответ: да, куб имеет центр симметрии.

б)

Ось симметрии – это такая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (меньший $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой.

Куб имеет 13 осей симметрии, которые можно разделить на три типа:

1. Три оси, проходящие через центры противоположных граней. Поворот вокруг этих осей на углы $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ совмещает куб сам с собой.

2. Шесть осей, проходящие через середины противоположных ребер. Поворот вокруг этих осей на угол $180^\circ$ совмещает куб сам с собой.

3. Четыре оси, проходящие через противоположные вершины (это пространственные диагонали куба). Поворот вокруг этих осей на углы $120^\circ$ и $240^\circ$ совмещает куб сам с собой.

Ответ: да, куб имеет оси симметрии.

в)

Плоскость симметрии – это такая плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальными отражениями друг друга.

Куб имеет 9 плоскостей симметрии, которые можно разделить на два типа:

1. Три плоскости, которые проходят через середины параллельных ребер и параллельны граням куба. Каждая такая плоскость делит куб на два равных прямоугольных параллелепипеда.

2. Шесть диагональных плоскостей, каждая из которых проходит через два противоположных ребра куба. Например, плоскость, проходящая через вершины $A$, $C$, $C_1$, $A_1$.

Ответ: да, куб имеет плоскости симметрии.

7.3. Имеет ли правильный тетраэдр (рис. 7.15):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 7.15

а) центр симметрии;

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка, относительно которой любая точка фигуры симметрична другой точке этой же фигуры. Предположим, что у правильного тетраэдра существует центр симметрии $O$. Тогда для любой вершины, например, для вершины $A$, должна существовать симметричная ей точка $A'$, которая также принадлежит тетраэдру. При центральной симметрии точка $A'$ должна быть другой вершиной, так как вершины являются крайними точками фигуры. Однако у тетраэдра всего 4 вершины, и они не могут быть сгруппированы в центрально-симметричные пары. Если взять в качестве возможного центра симметрии центр тяжести тетраэдра (точку пересечения его высот и медиан), то точка, симметричная любой вершине относительно центра тяжести, окажется за пределами тетраэдра. Таким образом, правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

Ответ: нет, правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

б) оси симметрии;

Осью симметрии называется прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, не равный $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Правильный тетраэдр имеет оси симметрии. Их можно разделить на два типа:

1. Оси, проходящие через вершину и центр противоположной грани. Так как противоположная грань является равносторонним треугольником, поворот вокруг такой оси на углы $120^\circ$ (или $2\pi/3$ радиан) и $240^\circ$ (или $4\pi/3$ радиан) отображает тетраэдр на себя. У тетраэдра 4 вершины, следовательно, существует 4 таких оси симметрии (оси 3-го порядка).

2. Оси, проходящие через середины противоположных (скрещивающихся) ребер. Поворот вокруг такой оси на $180^\circ$ (или $\pi$ радиан) также совмещает тетраэдр с самим собой. Например, ось, проходящая через середины ребер $AB$ и $CD$, при повороте на $180^\circ$ меняет местами вершины $A$ и $B$, а также вершины $C$ и $D$. У тетраэдра 6 ребер, которые образуют 3 пары противоположных ребер. Соответственно, существует 3 таких оси симметрии (оси 2-го порядка).

Итого, у правильного тетраэдра $4 + 3 = 7$ осей симметрии.

Ответ: да, правильный тетраэдр имеет 7 осей симметрии.

в) плоскости симметрии?

Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Правильный тетраэдр имеет плоскости симметрии. Каждая такая плоскость проходит через одно ребро и середину противоположного ему скрещивающегося ребра. Например, плоскость, проходящая через ребро $AD$ и середину ребра $BC$. При отражении относительно этой плоскости вершины $A$ и $D$ остаются на месте, а вершины $B$ и $C$ меняются местами, при этом тетраэдр совмещается сам с собой. Поскольку у тетраэдра 6 ребер, то и плоскостей симметрии у него тоже 6.

Ответ: да, правильный тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии.

7.4. Имеет ли правильная треугольная призма (рис. 7.16):

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

Рис. 7.16

Решение

Рассмотрим правильную треугольную призму. В основании такой призмы лежат два равных равносторонних треугольника (назовём их $ABC$ и $A_1B_1C_1$), а боковые грани являются равными прямоугольниками, перпендикулярными основаниям.

а) центр симметрии

Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка, относительно которой фигура симметрична. Это означает, что для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно центра также принадлежит фигуре.
У правильной треугольной призмы нет центра симметрии. Если бы он существовал, он бы находился на середине отрезка, соединяющего центры оснований. При симметрии относительно этой точки любая вершина, например $A$, должна была бы отобразиться в другую вершину призмы. Однако в правильной треугольной призме, основанием которой является многоугольник с нечётным числом вершин (треугольник), нет вершины, расположенной "диагонально противоположно" вершине $A$. Точка, симметричная вершине $A$, не совпадает ни с одной из вершин верхнего основания ($A_1$, $B_1$ или $C_1$). Следовательно, центр симметрии отсутствует.
Ответ: нет, правильная треугольная призма не имеет центра симметрии.

б) оси симметрии

Осью симметрии называется прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол (меньше $360^\circ$) фигура переходит сама в себя.
Правильная треугольная призма имеет оси симметрии. Их можно разделить на два типа:
1. Одна ось симметрии 3-го порядка. Это прямая, проходящая через центры оснований (центроиды равносторонних треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$). Поворот вокруг этой оси на $120^\circ$ или $240^\circ$ совмещает призму саму с собой.
2. Три оси симметрии 2-го порядка. Эти оси лежат в плоскости, которая параллельна основаниям и равноудалена от них. Каждая из этих осей является осью симметрии для равностороннего треугольника, получающегося в сечении призмы этой плоскостью. Поворот на $180^\circ$ вокруг любой из этих трёх осей совмещает призму саму с собой.
Всего у правильной треугольной призмы $1 + 3 = 4$ оси симметрии.
Ответ: да, имеет 4 оси симметрии (одну 3-го порядка и три 2-го порядка).

в) плоскости симметрии

Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части.
Правильная треугольная призма имеет плоскости симметрии. Их можно разделить на два типа:
1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Она параллельна основаниям и проходит через середину высоты призмы. Отражение относительно этой плоскости меняет местами верхнее и нижнее основания.
2. Три вертикальные плоскости симметрии. Каждая из этих плоскостей проходит через главную ось симметрии (ось 3-го порядка) и одну из высот основания (которые в равностороннем треугольнике являются также медианами и биссектрисами). Каждая такая плоскость перпендикулярна одной из сторон основания.
Всего у правильной треугольной призмы $1 + 3 = 4$ плоскости симметрии.
Ответ: да, имеет 4 плоскости симметрии (одну горизонтальную и три вертикальные).