Страница 44 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6.12. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $E, F, G$ (рис. 6.19).

Рис. 6.19

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точки $E$, $F$, $G$, такие, что $E \in AB$, $F \in CC_1$, $G \in A_1D_1$.

Найти:

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки $E, F, G$.

Решение:

Построение искомого сечения выполняется в несколько этапов с использованием метода следов и свойства параллельности граней куба.

1. Построим след секущей плоскости $(EFG)$ на плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Точка $G$ уже лежит в этой плоскости. Для построения прямой (следа) нам необходима вторая точка. Найдем точку $P$ — точку пересечения прямой $EF$ с плоскостью $(A_1B_1C_1D_1)$.

2. Для нахождения точки $P$ воспользуемся методом проекций. Спроецируем прямую $EF$ на плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельно боковому ребру $AA_1$. Проекцией точки $E$, лежащей на ребре $AB$, является точка $E_1$ на ребре $A_1B_1$ (где $EE_1 \parallel AA_1$). Проекцией точки $F$, лежащей на ребре $CC_1$, является точка $C_1$. Таким образом, проекцией прямой $EF$ на плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$ является прямая $E_1C_1$.

3. Прямая $EF$ и ее проекция $E_1C_1$ лежат в одной плоскости $(EFC_1E_1)$. Следовательно, они пересекаются в некоторой точке $P$ (если они не параллельны). Продлим отрезки $EF$ и $E_1C_1$ до их пересечения. Так как точка $P$ лежит на прямой $E_1C_1$, которая находится в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$, то точка $P$ является точкой пересечения прямой $EF$ с плоскостью верхней грани.

4. Теперь в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$ у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: $G$ и $P$. Прямая $PG$ является следом секущей плоскости на плоскости верхней грани. Эта прямая пересекает ребра верхней грани в точках, которые будут вершинами искомого сечения. Пусть прямая $PG$ пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $M$ и ребро $D_1C_1$ в точке $H$. Отрезки $MG$ и $GH$ – это стороны сечения, лежащие в верхней грани.

5. Воспользуемся свойством параллельных плоскостей: секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Плоскость нижней грани $(ABCD)$ параллельна плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Следовательно, след секущей плоскости на нижней грани должен быть параллелен следу на верхней грани, то есть прямой $MH$ (или $PG$).

6. Проведем в плоскости $(ABCD)$ через заданную точку $E$ прямую, параллельную прямой $MH$. Эта прямая пересечет ребро $BC$ в некоторой точке $N$. Отрезок $EN$ – это сторона сечения, лежащая в нижней грани.

7. Таким образом, мы получили шесть вершин искомого сечения, лежащих на ребрах куба: $E \in AB$, $N \in BC$, $F \in CC_1$, $H \in D_1C_1$, $G \in A_1D_1$ и $M \in A_1B_1$. Последовательно соединяя их, получаем стороны сечения, каждая из которых лежит в соответствующей грани: $ME$ в грани $(ABB_1A_1)$, $EN$ в грани $(ABCD)$, $NF$ в грани $(BCC_1B_1)$, $FH$ в грани $(DCC_1D_1)$, а также $HG$ и $GM$ в грани $(A_1B_1C_1D_1)$.

8. Искомое сечение – шестиугольник $ENFHGM$.

Ответ: Искомое сечение является шестиугольником $ENFHGM$, вершины которого лежат на ребрах куба: $E$ на $AB$, $N$ на $BC$, $F$ на $CC_1$, $H$ на $D_1C_1$, $G$ на $A_1D_1$ и $M$ на $A_1B_1$. Построение шестиугольника описано в решении.

6.13. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и параллельной прямой $AD_1$ (рис. 6.20).

Рис. 6.20

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и параллельной прямой $AD_1$, выполним следующие шаги:

1. Построение первого отрезка сечения

Обозначим середину ребра $AB$ точкой $E$, а середину ребра $BC$ – точкой $F$. Эти точки даны в условии задачи. Поскольку обе точки, $E$ и $F$, принадлежат секущей плоскости (назовем ее $\alpha$) и одновременно лежат в плоскости нижнего основания куба $ABCD$, то отрезок $EF$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABCD$. Соединим точки $E$ и $F$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $EF$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $EF$ является средней линией. По свойству средней линии, $EF$ параллелен диагонали $AC$ ($EF \parallel AC$).

2. Использование условия параллельности прямой и плоскости

По условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AD_1$. Прямая $AD_1$ является диагональю грани $ADD_1A_1$. Рассмотрим грань $BCC_1B_1$, которая параллельна грани $ADD_1A_1$. Диагональ $BC_1$ грани $BCC_1B_1$ параллельна диагонали $AD_1$ грани $ADD_1A_1$ ($AD_1 \parallel BC_1$).

Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AD_1$, а $AD_1 \parallel BC_1$, то по свойству транзитивности, плоскость $\alpha$ параллельна и прямой $BC_1$ ($\alpha \parallel BC_1$).

3. Построение второго отрезка сечения

Линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна прямой $BC_1$. Также эта линия должна проходить через точку $F$, которая принадлежит и плоскости $\alpha$, и грани $BCC_1B_1$.

Проведем в плоскости грани $BCC_1B_1$ через точку $F$ (середину $BC$) прямую, параллельную диагонали $BC_1$. По теореме Фалеса (или по свойству средней линии трапеции, если рассмотреть сечение плоскостью `BCC₁`), эта прямая пересечет ребро $CC_1$ в его середине. Обозначим эту точку $H$. Таким образом, $H$ – середина ребра $CC_1$. Отрезок $FH$ – это линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $BCC_1B_1$.

4. Построение следующих вершин сечения

Теперь воспользуемся свойством параллельности граней куба: линии пересечения секущей плоскости с параллельными гранями должны быть параллельны.

• Грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$.

• Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Линия пересечения с $BCC_1B_1$ – это отрезок $FH$. Значит, линия пересечения с гранью $ADD_1A_1$ должна быть ему параллельна. Чтобы ее построить, нам нужна хотя бы одна точка сечения на этой грани. Найдем ее.

Рассмотрим диагональную плоскость $ACC_1A_1$. Мы установили, что $EF \parallel AC$. Так как $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, то линия пересечения $\alpha$ с плоскостью $ACC_1A_1$ должна быть параллельна $AC$. Мы уже имеем точку $H$ (середина $CC_1$), которая принадлежит обеим плоскостям. Проведем в плоскости $ACC_1A_1$ через точку $H$ прямую, параллельную $AC$. Эта прямая является средней линией трапеции $ACC_1A_1$ и пересечет ребро $AA_1$ в его середине. Обозначим эту точку $K$. Таким образом, точка $K$ (середина $AA_1$) – еще одна вершина нашего сечения.

5. Завершение построения сечения

Теперь у нас есть четыре вершины искомого многоугольника: $E, F, H, K$. Соединим их и найдем остальные, используя свойство параллельности граней:

• В грани $ABB_1A_1$ соединяем точки $K$ (середина $AA_1$) и $E$ (середина $AB$). Получаем отрезок $KE$.

• В грани $ADD_1A_1$ через точку $K$ проводим прямую, параллельную отрезку $FH$. Эта прямая пересечет ребро $A_1D_1$ в его середине. Обозначим эту точку $L$. Получаем отрезок $KL$.

• В верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ через точку $L$ проводим прямую, параллельную отрезку $EF$ (а значит, и $A_1C_1$). Эта прямая пересечет ребро $C_1D_1$ в его середине. Обозначим эту точку $M$. Получаем отрезок $LM$.

• В задней грани $CDD_1C_1$ соединяем точки $M$ (середина $C_1D_1$) и $H$ (середина $CC_1$). Получаем отрезок $MH$. Этот отрезок будет параллелен отрезку $KE$ на передней грани, что соответствует свойству сечения.

Последовательно соединив точки $E \rightarrow F \rightarrow H \rightarrow M \rightarrow L \rightarrow K \rightarrow E$, мы получаем замкнутый многоугольник.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $EFHMLK$, вершины которого являются серединами ребер $AB, BC, CC_1, C_1D_1, D_1A_1, A_1A$ соответственно.

6.14. Постройте сечение правильной четырех- угольной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через середины ребер $AB$, $BC$ и параллельной прямой $SB$ (рис. 6.21).

Рис. 6.21

Решение

Пусть E и F — середины рёбер AB и BC соответственно. Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки E, F и параллельна прямой SB.

1. Точки E и F лежат в плоскости основания ABCD, поэтому отрезок EF является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью основания. В треугольнике ABC отрезок EF является средней линией, так как соединяет середины сторон AB и BC. По свойству средней линии, $EF \parallel AC$.

2. По условию, секущая плоскость $\alpha$ параллельна прямой SB. Прямая SB и точка E, принадлежащая плоскости $\alpha$, лежат в плоскости грани SAB. Согласно свойству параллельности прямой и плоскости, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью SAB должна проходить через точку E и быть параллельной прямой SB. Проведём в плоскости SAB отрезок EK, где K лежит на ребре SA, так что $EK \parallel SB$. Поскольку E — середина AB, то по теореме Фалеса K является серединой SA.

3. Аналогично, прямая SB и точка F, принадлежащая плоскости $\alpha$, лежат в плоскости грани SBC. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью SBC должна проходить через точку F и быть параллельной прямой SB. Проведём в плоскости SBC отрезок FL, где L лежит на ребре SC, так что $FL \parallel SB$. Поскольку F — середина BC, то L является серединой SC.

4. Соединим точки K и L. Обе точки лежат в плоскости грани SAC, поэтому отрезок KL является линией пересечения секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью SAC. В треугольнике SAC отрезок KL является средней линией, так как соединяет середины сторон SA и SC. Следовательно, $KL \parallel AC$.

5. Мы получили точки пересечения секущей плоскости с рёбрами пирамиды: E на AB, F на BC, L на SC и K на SA. Соединив эти точки последовательно, получаем четырёхугольник KEFL. Этот четырёхугольник и является искомым сечением.

Таким образом, для построения сечения необходимо выполнить следующие действия:

а) Отметить точки E и F — середины рёбер AB и BC.

б) Соединить точки E и F.

в) В грани SAB через точку E провести прямую, параллельную SB, до пересечения с ребром SA в точке K.

г) В грани SBC через точку F провести прямую, параллельную SB, до пересечения с ребром SC в точке L.

д) Соединить точки K и L.

Четырёхугольник KEFL — искомое сечение.

Ответ:

Искомое сечение — это четырёхугольник KEFL, где K, E, F, L — точки, построенные следующим образом: E — середина AB, F — середина BC, точка K лежит на ребре SA так, что $EK \parallel SB$, точка L лежит на ребре SC так, что $FL \parallel SB$. Этот четырёхугольник является параллелограммом, так как $EF \parallel KL$ (оба параллельны AC) и $EK \parallel FL$ (оба параллельны SB).

6.15. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через вершину $A$, середину $E$ ребра $SC$ и параллельной прямой $BD$ (рис. 6.22).

Рис. 6.22

Решение

Обозначим искомую секущую плоскость как $ \alpha $. Построение сечения будем выполнять пошагово, используя метод следов.

1. По условию, точки $ A $ и $ E $ (середина ребра $ SC $) принадлежат плоскости сечения $ \alpha $. Следовательно, отрезок $ AE $ является частью сечения. Этот отрезок лежит в плоскости диагонального сечения $ (SAC) $.

2. Проведем диагонали основания $ AC $ и $ BD $. Пусть $ O $ — точка их пересечения. Поскольку пирамида $ SABCD $ правильная, $ O $ является центром квадрата $ ABCD $, а $ SO $ — высотой пирамиды.

3. Рассмотрим плоскость $ (SAC) $. В этой плоскости лежат отрезки $ AE $ и $ SO $. Так как $ E $ — середина $ SC $, а $ O $ — середина $ AC $, отрезки $ AE $ и $ SO $ не параллельны и пересекаются внутри треугольника $ SAC $. Обозначим их точку пересечения буквой $ K $. То есть, $ K = AE \cap SO $.

4. Точка $ K $ принадлежит прямой $ AE $, поэтому она лежит в секущей плоскости $ \alpha $. Также точка $ K $ принадлежит прямой $ SO $, а значит, лежит и в плоскости $ (SBD) $. Таким образом, плоскость сечения $ \alpha $ и плоскость $ (SBD) $ имеют общую точку $ K $.

5. По условию, секущая плоскость $ \alpha $ параллельна прямой $ BD $. Прямая $ BD $ целиком лежит в плоскости $ (SBD) $. По свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения плоскости $ \alpha $ с плоскостью $ (SBD) $ должна быть параллельна прямой $ BD $.

6. Линия пересечения плоскостей $ \alpha $ и $ (SBD) $ проходит через их общую точку $ K $. Проведем в плоскости $ (SBD) $ через точку $ K $ прямую, параллельную диагонали $ BD $. Эта прямая пересечет боковые ребра пирамиды $ SB $ и $ SD $ в точках $ M $ и $ N $ соответственно. Отрезок $ MN $ принадлежит секущей плоскости $ \alpha $ и является одной из его сторон.

7. Соединим последовательно полученные точки $ A, M, E, N $. Полученный четырехугольник $ AMEN $ является искомым сечением, так как его стороны лежат на гранях пирамиды:

• $ AM $ лежит в плоскости грани $ (SAB) $.

• $ ME $ лежит в плоскости грани $ (SBC) $.

• $ EN $ лежит в плоскости грани $ (SCD) $.

• $ NA $ лежит в плоскости грани $ (SAD) $.

Таким образом, построение завершено.

Ответ:

Искомое сечение — это четырехугольник $ AMEN $. Для его построения необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти точку $ K $ как пересечение отрезков $ AE $ и $ SO $ в плоскости диагонального сечения $ (SAC) $.
2. В плоскости диагонального сечения $ (SBD) $ через точку $ K $ провести прямую, параллельную $ BD $.
3. Точки пересечения этой прямой с ребрами $ SB $ и $ SD $ обозначить как $ M $ и $ N $ соответственно.
4. Соединить точки $ A, M, E, N $ для получения искомого сечения.

6.16. Постройте сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $C$ и $E_1$ (рис. 6.23).

Рис. 6.23

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Секущая плоскость $\alpha$, проходящая через вершины A, C и E₁.

Найти:

Построить сечение призмы плоскостью $\alpha$.

Решение

Построение искомого сечения будем выполнять пошагово, находя точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы и соединяя их.

1. Точки A и C принадлежат секущей плоскости $\alpha$ и одновременно лежат в плоскости нижнего основания призмы (ABC). Следовательно, отрезок AC является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Соединяем точки A и C. Отрезок AC — первая сторона искомого сечения.

2. Плоскости нижнего (ABC) и верхнего ($A_1B_1C_1$) оснований призмы параллельны. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — прямая AC. Значит, линия пересечения с верхним основанием — это прямая, проходящая через точку E₁ и параллельная прямой AC.

3. В правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ AC параллельна диагонали FD. Следовательно, в плоскости верхнего основания искомая линия пересечения должна проходить через точку E₁ параллельно диагонали $F_1D_1$. Можно показать, что такая прямая касается шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ только в одной точке — E₁. Это означает, что точка E₁ является вершиной сечения, но на грани верхнего основания нет стороны сечения.

4. Теперь найдём точки пересечения секущей плоскости с боковыми гранями и ребрами призмы. Для этого воспользуемся свойством параллельности боковых граней. В правильной шестиугольной призме противоположные боковые грани параллельны. В частности, грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $AFF_1A_1$. Секущая плоскость $\alpha$ будет пересекать эти грани по параллельным прямым.

5. Построим точку M — точку пересечения секущей плоскости $\alpha$ с ребром $DD_1$. Для этого рассмотрим плоскость диагонального сечения призмы $ADD_1A_1$. Эта плоскость содержит ребро $DD_1$. Найдём линию пересечения плоскости $\alpha = (ACE_1)$ с плоскостью $(ADD_1A_1)$. Точка A является общей для обеих плоскостей. Вторую общую точку K найдём как точку пересечения прямой $CE_1$ (лежащей в плоскости $\alpha$) с плоскостью $(ADD_1A_1)$. Линия пересечения двух плоскостей — прямая AK. Точка пересечения прямой AK с ребром $DD_1$ и есть искомая точка M. Таким образом, M — вершина сечения на ребре $DD_1$.

6. Теперь, когда у нас есть точка M на ребре $DD_1$, мы можем построить две стороны сечения. Точки C и M лежат в одной грани $CDD_1C_1$, соединяем их. Отрезок CM — сторона сечения. Точки M и E₁ лежат в одной грани $EDD_1E_1$, соединяем их. Отрезок ME₁ — сторона сечения.

7. Как было упомянуто в шаге 4, грани $CDD_1C_1$ и $AFF_1A_1$ параллельны, значит линии их пересечения с плоскостью $\alpha$ также параллельны. Мы уже имеем линию пересечения с гранью $CDD_1C_1$ — это отрезок CM. Линия пересечения с гранью $AFF_1A_1$ должна проходить через точку A и быть параллельна CM. Проведём через точку A прямую, параллельную CM. Она пересечёт боковое ребро $FF_1$ в некоторой точке N. Отрезок AN — сторона сечения.

8. Точки N и E₁ обе лежат в плоскости боковой грани $FEE_1F_1$ (N лежит на ребре $FF_1$, а E₁ — вершина этой грани). Соединяем их. Отрезок NE₁ — последняя сторона сечения.

9. В результате мы последовательно соединили вершины A → C → M → E₁ → N → A. Все эти отрезки лежат в гранях призмы и в секущей плоскости.

Таким образом, искомое сечение — это пятиугольник ACME₁N.

Ответ: Искомое сечение представляет собой пятиугольник ACME₁N, где точка M лежит на ребре $DD_1$, а точка N — на ребре $FF_1$. Построение сечения показано на рисунке и описано в решении.

6.17. Постройте сечение правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $C$ и середину $G$ ребра $SE$ (рис. 6.24).

Рис. 6.24

Решение

Построение искомого сечения правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF плоскостью, проходящей через точки A, C и G (середина ребра SE), выполняется методом следов. Обозначим секущую плоскость как α.

1. Соединим точки A и C. Так как обе точки лежат в плоскости основания пирамиды, отрезок AC является стороной искомого сечения и одновременно следом секущей плоскости α на плоскости основания (ABC).

2. Чтобы найти линию пересечения секущей плоскости α с плоскостью боковой грани (SDE), необходимо найти вторую общую точку для этих плоскостей (первая точка — G, так как G лежит на ребре SE, которое принадлежит грани (SDE)). Для этого в плоскости основания продлим прямую AC и прямую, содержащую ребро основания DE. В правильном шестиугольнике прямая, содержащая диагональ AC, и прямая, содержащая сторону DE, не параллельны, следовательно, они пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой P. Точка P принадлежит прямой AC, а значит и секущей плоскости α. Точка P также принадлежит прямой DE, а значит и плоскости грани (SDE).

3. Мы нашли две точки (G и P), принадлежащие одновременно и секущей плоскости α, и плоскости грани (SDE). Следовательно, прямая GP является линией пересечения этих плоскостей.

4. Проведем прямую GP. Точка пересечения этой прямой с ребром SD будет являться вершиной искомого сечения. Обозначим эту точку буквой H.

5. Теперь мы можем построить стороны сечения, лежащие на боковых гранях. Соединяем точку C с точкой H (обе лежат в плоскости грани (SCD)). Соединяем точку H с точкой G (обе лежат в плоскости грани (SDE)). Отрезки CH и HG — стороны сечения.

6. Далее найдем точку пересечения секущей плоскости с ребром SF. Для этого повторим аналогичную процедуру для грани (SEF). Точка G является общей точкой для плоскости α и плоскости (SEF). Найдем вторую общую точку, продлив в плоскости основания прямую AC и прямую, содержащую ребро FE. Точку их пересечения обозначим Q.

7. Прямая GQ является линией пересечения секущей плоскости α и плоскости грани (SEF). Точка пересечения прямой GQ с ребром SF будет еще одной вершиной сечения. Обозначим ее буквой K.

8. Соединим точку G с точкой K (обе лежат в грани (SEF)) и точку K с точкой A (обе лежат в грани (SFA)). Отрезки GK и KA — стороны сечения.

9. Соединив последовательно точки A, C, H, G, K и снова A, мы получим замкнутый многоугольник, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник ACHGK.