Страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5.17. Сколько имеется путей длиной 3 см по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противолежащую вершину?

Дано:

Геометрическая фигура: правильный октаэдр.
Тип октаэдра: единичный, что означает, что длина каждого ребра равна 1. В данном случае, $l = 1$ см.
Длина искомого пути: $L = 3$ см.
Начало пути: одна из вершин октаэдра.
Конец пути: вершина, противоположная начальной.

Найти:

Количество $N$ различных путей указанной длины между заданными вершинами.

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, имеющий 6 вершин, 12 ребер и 8 граней (в виде равносторонних треугольников). Каждая вершина соединена ребрами с четырьмя другими вершинами.

Поскольку октаэдр единичный, длина каждого ребра составляет 1 см. Путь длиной 3 см будет состоять ровно из 3 последовательно пройденных ребер.

Обозначим начальную вершину как $A$, а противоположную ей (конечную) вершину — как $F$. Оставшиеся четыре вершины лежат в одной плоскости между $A$ и $F$ и образуют квадрат. Назовем их "средними" вершинами: $V_1, V_2, V_3, V_4$.

Структура связей в октаэдре такова:

• Вершина $A$ соединена ребрами со всеми четырьмя средними вершинами ($V_1, V_2, V_3, V_4$).
• Вершина $F$ также соединена ребрами со всеми четырьмя средними вершинами.
• Каждая средняя вершина соединена с $A$, с $F$ и с двумя другими средними вершинами.

Нам нужно найти количество путей вида $A \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow F$, где $A, X, Y, F$ — вершины октаэдра, а стрелки обозначают движение по ребру.

Разобьем задачу на три шага:

Шаг 1: Первый ход из вершины $A$ в вершину $X$.
Из начальной вершины $A$ можно переместиться только в одну из четырех средних вершин ($V_1, V_2, V_3, V_4$), так как $A$ не соединена с $F$ напрямую.
Количество вариантов для первого шага: 4.

Шаг 2: Второй ход из вершины $X$ в вершину $Y$.
Предположим, на первом шаге мы попали в одну из средних вершин, например, в $V_1$. Теперь нужно выбрать следующую вершину $Y$.

• Вершина $Y$ не может быть $A$, так как путь $A \rightarrow V_1 \rightarrow A$ имеет длину 2, и из $A$ невозможно попасть в $F$ за один шаг.
• Вершина $Y$ не может быть $F$, так как путь $A \rightarrow V_1 \rightarrow F$ имеет длину 2, а нам нужен путь длиной 3.

Шаг 3: Третий ход из вершины $Y$ в вершину $F$.
На этом шаге мы находимся в некоторой средней вершине $Y$. Все четыре средние вершины соединены с конечной вершиной $F$. Поэтому из любой средней вершины, в которую мы попали на втором шаге, существует ребро, ведущее в $F$.
Количество вариантов для третьего шага: 1.

Чтобы найти общее количество путей, нужно перемножить количество вариантов на каждом шаге: $N = (\text{варианты шага 1}) \times (\text{варианты шага 2}) \times (\text{варианты шага 3})$ $N = 4 \times 2 \times 1 = 8$

Таким образом, существует 8 различных путей длиной 3 см по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную.

Ответ: 8.

5.18. На листе бумаги в клетку изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке 5.10. Отметьте центры граней тетраэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.

Рис. 5.10

На листе бумаги в клетку изобразите тетраэдр аналогично данному на рисунке 5.10.
Для построения тетраэдра на листе в клетку, аналогичного изображенному, можно следовать координатам на сетке. Пусть левая нижняя вершина основания будет точкой отсчета.
1. Поставьте точку для первой вершины основания.
2. Для второй видимой вершины основания отсчитайте 5 клеток вправо и 1 клетку вниз.
3. Для третьей, невидимой, вершины основания отсчитайте от первой точки 2 клетки вправо и 2 клетки вниз.
4. Для верхней вершины тетраэдра отсчитайте от первой точки 3 клетки вправо и 4 клетки вверх.
5. Соедините вершины отрезками. Ребра, которые видны наблюдателю, рисуются сплошной линией. Ребро основания, которое скрыто другими гранями, изображается пунктирной линией.
Ответ: Решением является чертеж, выполненный на бумаге согласно описанию.

Отметьте центры граней тетраэдра. Вершинами какого многогранника они являются?
Тетраэдр имеет 4 грани, каждая из которых представляет собой треугольник. Центр грани — это точка пересечения ее медиан (центроид). Чтобы найти центр каждой из четырех граней, необходимо для каждого треугольника-грани провести медианы (отрезки, соединяющие вершину с серединой противоположной стороны). Точка пересечения медиан и является искомым центром.
Отметив центры всех четырех граней и соединив их, мы получим новый многогранник. Поскольку у исходного тетраэдра 4 грани, у нового многогранника будет 4 вершины. Многогранник с четырьмя вершинами — это также тетраэдр. Фигура, полученная соединением центров граней правильного многогранника, называется двойственным многогранником. Для правильного тетраэдра двойственным является другой правильный тетраэдр.
Ответ: Отмеченные точки являются вершинами другого тетраэдра.

Найдите его ребро, если ребра исходного тетраэдра равны 1.
Дано:
Исходный тетраэдр является правильным.
Длина ребра исходного тетраэдра $a = 1$.

Найти:
Длину ребра $b$ нового тетраэдра, образованного центрами граней исходного.

Решение:
Пусть вершины исходного правильного тетраэдра обозначены как $A, B, C, D$. Вершины нового тетраэдра являются центроидами граней исходного. Ребро нового тетраэдра соединяет центры двух соседних граней.
Рассмотрим две смежные грани, например, $ABC$ и $ABD$. Их центры — точки $M_{ABC}$ и $M_{ABD}$.
Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Записав радиус-векторы для центров граней $ABC$ и $ABD$, получим:
$\vec{r}_{M_{ABC}} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$
$\vec{r}_{M_{ABD}} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{D}}{3}$
Вектор $\vec{b}$, соответствующий ребру нового тетраэдра, соединяющему эти центры, равен разности их радиус-векторов:
$\vec{b} = \vec{r}_{M_{ABD}} - \vec{r}_{M_{ABC}} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{D}}{3} - \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} = \frac{(\vec{A} + \vec{B} + \vec{D}) - (\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})}{3} = \frac{\vec{D} - \vec{C}}{3}$
Длина ребра нового тетраэдра $b$ равна модулю этого вектора:
$b = |\vec{b}| = \left|\frac{\vec{D} - \vec{C}}{3}\right| = \frac{1}{3}|\vec{D} - \vec{C}|$
Величина $|\vec{D} - \vec{C}|$ — это расстояние между вершинами $D$ и $C$, которое равно длине ребра исходного тетраэдра, то есть $a$.
Таким образом, получаем соотношение: $b = \frac{1}{3}a$.
Подставляя заданное значение $a = 1$, находим длину ребра нового тетраэдра:
$b = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$.

5.19. На листе бумаги в клетку изобразите октаэдр аналогично данному на рисунке 5.2. Отметьте центры граней октаэдра. Вершинами какого многогранника они являются? Найдите его ребро, если ребра исходного октаэдра равны 1.

Вершинами какого многогранника они являются?

Правильный октаэдр — это один из пяти платоновых тел. Он имеет 8 граней (являющихся равносторонними треугольниками), 12 ребер и 6 вершин. Если соединить центры всех граней правильного многогранника, получится другой правильный многогранник, называемый двойственным (или дуальным) к исходному.

Для правильного октаэдра двойственным многогранником является куб (гексаэдр). Это можно понять, сопоставив их элементы:

• У октаэдра 8 граней, следовательно, у двойственного многогранника будет 8 вершин.
• У октаэдра 6 вершин, следовательно, у двойственного многогранника будет 6 граней.
• У октаэдра 12 ребер, и у двойственного многогранника также будет 12 ребер.

Многогранник с 8 вершинами, 6 квадратными гранями и 12 ребрами — это куб. Таким образом, центры граней октаэдра являются вершинами куба.

Ответ: Вершины являются вершинами куба.

Найдите его ребро, если ребра исходного октаэдра равны 1.

Дано:

Ребро исходного октаэдра $a = 1$.

Найти:

Ребро полученного куба $b$.

Решение:

Для решения задачи разместим октаэдр в декартовой системе координат так, чтобы его центр совпадал с началом координат $O(0,0,0)$, а вершины лежали на осях координат. Пусть расстояние от центра до любой вершины равно $d$. Вершины будут иметь координаты $(\pm d, 0, 0)$, $(0, \pm d, 0)$, $(0, 0, \pm d)$.

Найдем связь между $d$ и длиной ребра $a$. Ребро соединяет две соседние вершины, например, $V_1(d,0,0)$ и $V_3(0,d,0)$. Длина этого ребра $a$ вычисляется по теореме Пифагора:

$a = \sqrt{(d-0)^2 + (0-d)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{d^2+d^2} = \sqrt{2d^2} = d\sqrt{2}$

Отсюда $d = \frac{a}{\sqrt{2}}$. По условию $a=1$, значит, $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Итак, шесть вершин октаэдра имеют координаты:

$V_1(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0)$, $V_2(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0)$, $V_3(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$, $V_4(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$, $V_5(0, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$, $V_6(0, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$.

Центр грани октаэдра (равностороннего треугольника) находится как среднее арифметическое координат его вершин. Ребро куба соединяет центры двух соседних граней октаэдра. Возьмем две соседние грани, например, грань $F_A$, образованную вершинами $V_1, V_3, V_5$, и грань $F_B$, образованную вершинами $V_2, V_3, V_5$. Эти грани имеют общее ребро $V_3V_5$. Центры этих граней, $C_A$ и $C_B$, являются соседними вершинами искомого куба.

Найдем координаты центра $C_A$ грани $F_A$:

$C_A = \left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+0+0}{3}, \frac{0+\frac{1}{\sqrt{2}}+0}{3}, \frac{0+0+\frac{1}{\sqrt{2}}}{3}\right) = \left(\frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}\right)$

Найдем координаты центра $C_B$ грани $F_B$:

$C_B = \left(\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}+0+0}{3}, \frac{0+\frac{1}{\sqrt{2}}+0}{3}, \frac{0+0+\frac{1}{\sqrt{2}}}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{3\sqrt{2}}\right)$

Длина ребра куба $b$ — это расстояние между его соседними вершинами $C_A$ и $C_B$:

$b = |C_AC_B| = \sqrt{\left(\frac{1}{3\sqrt{2}} - \left(-\frac{1}{3\sqrt{2}}\right)\right)^2 + \left(\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{1}{3\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{1}{3\sqrt{2}}\right)^2}$

$b = \sqrt{\left(\frac{2}{3\sqrt{2}}\right)^2 + 0^2 + 0^2} = \frac{2}{3\sqrt{2}}$

Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$b = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Более короткий путь решения — использовать векторы. Вектор, соединяющий центры $C_A$ и $C_B$, равен:

$\vec{C_AC_B} = C_B - C_A = \frac{V_2+V_3+V_5}{3} - \frac{V_1+V_3+V_5}{3} = \frac{V_2-V_1}{3}$

Длина ребра куба $b$ равна модулю этого вектора:

$b = |\vec{C_AC_B}| = \frac{|V_2-V_1|}{3}$

Длина вектора $|V_2-V_1|$ — это расстояние между противоположными вершинами октаэдра, то есть его большая диагональ. Она равна $2d = 2 \frac{a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$.

$b = \frac{a\sqrt{2}}{3}$

Подставляя $a=1$, получаем тот же результат:

$b = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Ответ: Ребро полученного куба равно $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

5.20. На листе бумаги в клетку изобразите икосаэдр аналогично данному на рисунке Б.3. Отметьте центры граней икосаэдра. Вершинами какого многогранника они являются?

Решение

На листе бумаги в клетку изобразите икосаэдр аналогично данному на рисунке Б.3. Отметьте центры граней икосаэдра.

Для того чтобы изобразить икосаэдр на плоскости, можно использовать его проекцию. Предлагается следующий алгоритм построения:

1. Нарисуйте точку, которая будет служить верхней вершиной («северным полюсом») икосаэдра.

2. Ниже этой точки начертите правильный пятиугольник. Соедините отрезками каждую вершину этого пятиугольника с верхней точкой. В результате получится «шапка» из пяти треугольных граней.

3. Начертите второй правильный пятиугольник, большего размера, чем первый, и расположите его ниже. Второй пятиугольник должен быть повернут относительно первого на $36^\circ$ так, чтобы его вершины находились между проекциями вершин первого. Соедините каждую вершину первого (верхнего) пятиугольника с двумя ближайшими вершинами второго (нижнего) пятиугольника. Это образует «пояс» из десяти треугольных граней.

4. Нарисуйте последнюю, нижнюю вершину («южный полюс») под центром всей конструкции. Соедините вершины второго (большого) пятиугольника с этой нижней точкой, чтобы сформировать оставшиеся пять треугольных граней.

5. Рёбра, которые в данной проекции являются невидимыми (находятся на задней стороне многогранника), следует изображать пунктирными линиями.

После завершения рисунка икосаэдра необходимо отметить центры каждой из его 20 треугольных граней. Центр треугольника (центроид) находится в точке пересечения его медиан.

Ответ: Изображение икосаэдра с отмеченными центрами граней построено согласно описанному алгоритму.

Вершинами какого многогранника они являются?

Многогранник, вершины которого являются центрами граней другого многогранника, называется двойственным (или дуальным) к исходному. Чтобы определить, какой многогранник образуют центры граней икосаэдра, проанализируем его свойства и концепцию двойственности.

Икосаэдр — это правильный многогранник (платоново тело), который имеет следующие характеристики:

• Количество граней ($Г$): $20$ (все грани — правильные треугольники)
• Количество вершин ($В$): $12$ (в каждой вершине сходится 5 рёбер)
• Количество рёбер ($Р$): $30$

При построении двойственного многогранника количество его вершин ($В'$) равно количеству граней исходного ($Г$), а количество граней ($Г'$) равно количеству вершин исходного ($В$). Количество рёбер ($Р'$) у двойственного многогранника такое же, как и у исходного ($Р$).

$В' = Г = 20$

$Г' = В = 12$

$Р' = Р = 30$

Следовательно, искомый многогранник должен иметь $20$ вершин, $12$ граней и $30$ рёбер. Этими свойствами обладает додекаэдр.

Дополнительным подтверждением служит форма граней двойственного многогранника. Поскольку в каждой вершине икосаэдра сходятся 5 граней, грани двойственного многогранника, которые формируются вокруг этих вершин, будут пятиугольниками. Правильный многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников, — это и есть додекаэдр.

Ответ: Центры граней икосаэдра являются вершинами додекаэдра.

5.21. На листе бумаги в клетку изобразите додекаэдр аналогично данному на рисунке Б.5. Отметьте центры граней додекаэдра. Вершинами какого многогранника они являются?

5.22. Сколько имеется нитей длиной 3 см по ребрам единичного...

Решение

Задача состоит из трех частей: построение изображения додекаэдра, отметка центров его граней и определение многогранника, вершинами которого являются эти центры.

1. Изображение додекаэдра. Додекаэдр — это один из пяти правильных многогранников (Платоновых тел), состоящий из 12 одинаковых правильных пятиугольников, которые являются его гранями. При изображении на плоскости (на листе в клетку) используется проекция. Обычно начинают с центральной грани (пятиугольника), а затем достраивают "видимые" соседние грани, искажая их форму в соответствии с правилами перспективы. "Невидимые" грани и ребра изображают штриховыми линиями.

2. Отметка центров граней. Центр каждой грани (правильного пятиугольника) — это точка, равноудаленная от всех его вершин. На проекции додекаэдра мы отмечаем геометрический центр каждого изображенного пятиугольника. Всего будет отмечено 12 точек, так как у додекаэдра 12 граней.

3. Определение нового многогранника. Если соединить отрезками центры соседних граней додекаэдра, то эти отрезки образуют ребра нового многогранника, а сами центры станут его вершинами. Давайте определим, что это за многогранник.

• Вершины нового многогранника. Количество вершин нового многогранника равно количеству граней исходного додекаэдра. У додекаэдра 12 граней, следовательно, у нового многогранника будет 12 вершин.

• Грани нового многогранника. Каждая вершина додекаэдра является точкой схода трех граней. Если мы соединим центры этих трех граней, мы получим треугольную грань нового многогранника. Количество граней нового многогранника будет равно количеству вершин исходного додекаэдра. У додекаэдра 20 вершин, следовательно, у нового многогранника будет 20 граней, и все они будут правильными треугольниками.

Многогранник, имеющий 12 вершин и 20 граней в форме правильных треугольников, называется икосаэдром.

Таким образом, операция построения нового многогранника путем соединения центров граней исходного называется построением двойственного (или дуального) многогранника. Додекаэдр и икосаэдр являются двойственными друг другу.

Ответ: Центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра.

5.22. Сколько имеется путей длиной 3 см по ребрам единичного икосаэдра из одной его вершины в противоположащую вершину?

Дано:

Геометрическое тело: единичный икосаэдр.

Длина пути по ребрам: $L = 3$ см.

Длина ребра икосаэдра: $a = 1$ см (следует из определения "единичного" икосаэдра и длины пути в см).

Начальная вершина: произвольная вершина $V_{start}$.

Конечная вершина: противолежащая вершина $V_{end}$.

Найти:

Количество путей $N$ длиной 3 ребра из вершины $V_{start}$ в вершину $V_{end}$.

Решение:

Задача сводится к подсчету количества маршрутов (или путей) определенной длины в графе, вершинами и ребрами которого являются вершины и ребра икосаэдра.

Икосаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 20 треугольных граней, 30 ребер и 12 вершин. В каждой вершине сходится 5 ребер, то есть степень каждой вершины в графе икосаэдра равна 5.

Длина пути составляет 3 см, а длина ребра единичного икосаэдра — 1 см. Это означает, что мы ищем количество путей, состоящих ровно из 3 ребер.

Пусть начальная вершина — $V_{start}$, а противолежащая ей (антиподальная) вершина — $V_{end}$. Проанализируем расстояния от вершины $V_{start}$ до всех остальных вершин графа, измеряя расстояние количеством ребер в кратчайшем пути.

1. Вершины на расстоянии 0: Это сама вершина $V_{start}$ (1 вершина).

2. Вершины на расстоянии 1: Это 5 вершин, непосредственно соединенных с $V_{start}$ ребром. Назовем это множество вершин $S_1$. $|S_1| = 5$.

3. Вершины на расстоянии 2: Это вершины, достижимые из $V_{start}$ за 2 шага (но не за 1). Каждая из 5 вершин в $S_1$ соединена с $V_{start}$ (1 ребро), с двумя другими вершинами из $S_1$ (поскольку грани — треугольники), и, следовательно, с $5 - 1 - 2 = 2$ вершинами, находящимися на следующем "уровне". Эти 5 вершин из $S_1$ соединены с 5 новыми вершинами. Назовем это множество $S_2$. $|S_2| = 5$.

4. Вершины на расстоянии 3: Оставшаяся вершина. $1 + 5 + 5 = 11$. Всего вершин 12, значит, осталась одна. Эта вершина и является противолежащей вершиной $V_{end}$. Кратчайшее расстояние от $V_{start}$ до $V_{end}$ равно 3 ребрам. $|S_3| = 1$, и $S_3 = \{V_{end}\}$.

Мы ищем путь длиной 3 ребра: $V_{start} \rightarrow v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow V_{end}$.

Рассмотрим шаги этого пути:

Шаг 1: $V_{start} \rightarrow v_1$.

Первый шаг должен быть сделан в одну из смежных с $V_{start}$ вершин. Таких вершин 5 (множество $S_1$). Таким образом, для вершины $v_1$ существует 5 возможных вариантов.

Шаг 2: $v_1 \rightarrow v_2$.

Вершина $v_1$ принадлежит множеству $S_1$. Мы должны перейти в вершину $v_2$, из которой можно за один шаг попасть в $V_{end}$. Это означает, что $v_2$ должна быть смежной с $V_{end}$. Вершины, смежные с $V_{end}$, находятся от нее на расстоянии 1. Поскольку расстояние от $V_{start}$ до $V_{end}$ равно 3, то любая вершина, смежная с $V_{end}$, будет находиться на расстоянии 2 от $V_{start}$. То есть, $v_2$ должна принадлежать множеству $S_2$.

Найдем, со сколькими вершинами из $S_2$ соединена каждая вершина $v_1 \in S_1$. Каждая вершина $v_1$ имеет степень 5. Одно ребро ведет к $V_{start}$ (в $S_0$), два ребра — к другим вершинам в $S_1$. Оставшиеся $5 - 1 - 2 = 2$ ребра ведут к вершинам из множества $S_2$.

Следовательно, для каждого из 5 выборов $v_1$ есть 2 варианта для выбора $v_2$.

Шаг 3: $v_2 \rightarrow V_{end}$.

Вершина $v_2$ принадлежит множеству $S_2$. Нам нужно убедиться, что из нее есть путь в $V_{end}$. По симметрии икосаэдра, каждая вершина $v_2 \in S_2$ соединена ребром с $V_{end}$. Степень $v_2$ равна 5: 2 ребра ведут к вершинам из $S_1$, 2 ребра — к другим вершинам из $S_2$, и оставшееся $5 - 2 - 2 = 1$ ребро ведет к $V_{end}$.

Таким образом, для каждого выбора $v_2$ существует ровно 1 способ завершить путь.

Общее количество путей равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$N = (\text{число вариантов для } v_1) \times (\text{число вариантов для } v_2) \times (\text{число вариантов для шага в } V_{end})$

$N = 5 \times 2 \times 1 = 10$.

Поскольку кратчайший путь от $V_{start}$ до $V_{end}$ равен 3, любой найденный путь длины 3 не будет содержать повторяющихся вершин и, следовательно, является простым путем.

Ответ: 10.

5.23. Сколько имеется путей длиной 5 см по ребрам единичного додекаэдра из одной его вершины в противоположную вершину?

Дано:

Геометрическое тело: единичный додекаэдр.

Длина ребра: $l=1$ условная единица.

Длина пути: $L=5$ условных единиц (в задаче указано 5 см, что соответствует 5 рёбрам единичного додекаэдра).

Начальная точка: одна из вершин додекаэдра ($V_{старт}$).

Конечная точка: противоположная вершина ($V_{финиш}$).

Найти:

Количество $N$ различных путей длиной 5 рёбер от $V_{старт}$ до $V_{финиш}$.

Решение:

Представим додекаэдр как граф, где вершины — это вершины многогранника, а рёбра — его рёбра. Задача состоит в том, чтобы найти количество путей определённой длины между двумя заданными вершинами в этом графе.

Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 рёбер. Каждая вершина соединена с тремя другими, то есть степень каждой вершины равна 3. Грани додекаэдра — правильные пятиугольники, поэтому кратчайший цикл в графе имеет длину 5.

Выберем любую вершину за стартовую, $V_{старт}$. Распределим все вершины графа по множествам $S_k$ в зависимости от их расстояния $k$ (длины кратчайшего пути в рёбрах) от $V_{старт}$:

• $S_0$: множество из 1 вершины ($V_{старт}$).
• $S_1$: множество из 3 вершин, смежных с $V_{старт}$.
• $S_2$: множество из 6 вершин, находящихся на расстоянии 2 от $V_{старт}$.
• $S_3$: множество из 6 вершин, находящихся на расстоянии 3 от $V_{старт}$.
• $S_4$: множество из 3 вершин, находящихся на расстоянии 4 от $V_{старт}$.
• $S_5$: множество из 1 вершины, находящейся на расстоянии 5 от $V_{старт}$.

Сумма вершин: $1+3+6+6+3+1=20$, что соответствует общему числу вершин додекаэдра. Противоположная вершина $V_{финиш}$ является единственной вершиной в множестве $S_5$. Таким образом, кратчайшее расстояние от $V_{старт}$ до $V_{финиш}$ составляет 5 рёбер.

Так как длина искомых путей равна 5, а кратчайшее расстояние между начальной и конечной вершинами также равно 5, то любой такой путь является кратчайшим. Это означает, что путь должен последовательно проходить через вершины из множеств $S_0, S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$, не возвращаясь назад и не проходя по рёбрам внутри одного множества (кроме случаев, когда это является частью кратчайшего пути, что здесь не так для переходов $S_k \to S_{k+1}$).

Подсчитаем количество вариантов на каждом шаге построения пути из 5 рёбер:

1. Шаг из $S_0$ в $S_1$: Из вершины $V_{старт}$ ($S_0$) выходит 3 ребра. Все они ведут к вершинам из $S_1$. Таким образом, есть 3 способа сделать первый шаг.

2. Шаг из $S_1$ в $S_2$: Каждая вершина из $S_1$ соединена одним ребром с $V_{старт}$ (путь "назад"). Поскольку в графе нет циклов длиной 3 или 4, два других ребра должны вести к новым вершинам, которые по определению находятся на расстоянии 2 от $V_{старт}$, то есть в $S_2$. Следовательно, из любой вершины в $S_1$ есть 2 пути "вперёд" в $S_2$.

3. Шаг из $S_2$ в $S_3$: Каждая вершина $v_2 \in S_2$ имеет одного соседа в $S_1$. Можно показать, что из-за пятиугольной структуры граней, $v_2$ также имеет одного соседа в $S_2$. Третий сосед, следовательно, должен находиться в $S_3$. Таким образом, из каждой вершины в $S_2$ есть ровно 1 путь "вперёд" в $S_3$.

4. Шаг из $S_3$ в $S_4$: По соображениям симметрии (рассматривая пути от $V_{финиш}$), из каждой вершины в $S_3$ есть ровно 1 путь "вперёд" в $S_4$.

5. Шаг из $S_4$ в $S_5$: Каждая вершина из $S_4$ смежна с $V_{финиш}$ ($S_5$), поэтому из любой вершины в $S_4$ есть ровно 1 путь к конечной цели.

Чтобы найти общее количество путей, нужно перемножить количество вариантов на каждом шаге:

$N = (\text{число путей из } S_0) \times (\text{число путей из } S_1) \times (\text{число путей из } S_2) \times (\text{число путей из } S_3) \times (\text{число путей из } S_4)$

$N = 3 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1 = 6$

Таким образом, существует 6 различных путей длиной 5 рёбер от одной вершины додекаэдра до противоположной.

Ответ: 6.

5.24. Найдите косинус двугранного угла, образованного соседними гранями:
а) правильного тетраэдра;
б) октаэдра;
в) икосаэдра.

а) правильного тетраэдра

Дано: правильный тетраэдр, все рёбра которого равны $a$.

Найти: косинус двугранного угла $\alpha$ между его соседними гранями.

Решение:

Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Пусть $ABCD$ — правильный тетраэдр с ребром $a$.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $BC$. Его образуют грани $ABC$ и $DBC$.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Проведём в гранях $ABC$ и $DBC$ высоты к общему ребру $BC$. Пусть $M$ — середина ребра $BC$. Так как треугольники $ABC$ и $DBC$ равносторонние, их высоты $AM$ и $DM$, проведённые к стороне $BC$, будут также и медианами. Следовательно, $AM \perp BC$ и $DM \perp BC$.

Угол $\angle AMD$ является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $DBC$. Обозначим этот угол $\alpha$.

Найдём длины сторон треугольника $AMD$. $AM$ и $DM$ — высоты в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $AM = DM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сторона $AD$ является ребром тетраэдра, поэтому $AD = a$.

Теперь в треугольнике $AMD$ известны все три стороны. Применим теорему косинусов для нахождения $\cos(\alpha)$:

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения:

$a^2 = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (при $a \neq 0$):

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\alpha)$

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) октаэдра

Дано: правильный октаэдр, все рёбра которого равны $a$.

Найти: косинус двугранного угла $\beta$ между его соседними гранями.

Решение:

Правильный октаэдр — это многогранник, все восемь граней которого являются равносторонними треугольниками. Его можно представить как две правильные четырёхугольные пирамиды, соединённые основаниями.

Пусть вершины октаэдра в экваториальной плоскости образуют квадрат $ABCD$, а две другие вершины — $S$ (верхняя) и $T$ (нижняя). Все рёбра октаэдра равны $a$.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $SB$. Его образуют соседние грани $SAB$ и $SBC$.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Проведём в гранях $SAB$ и $SBC$ высоты к общему ребру $SB$. Пусть $M$ — точка на ребре $SB$, такая что $AM \perp SB$. Так как треугольники $SAB$ и $SBC$ — равные равносторонние треугольники, то высота из вершины $C$ к стороне $SB$ также попадёт в точку $M$, т.е. $CM \perp SB$.

Угол $\angle AMC$ является линейным углом искомого двугранного угла. Обозначим этот угол $\beta$.

Найдём длины сторон треугольника $AMC$. $AM$ и $CM$ — высоты в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $AM = CM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a$. Длина диагонали квадрата равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, $AC = a\sqrt{2}$.

Теперь в треугольнике $AMC$ известны все три стороны. Применим теорему косинусов для нахождения $\cos(\beta)$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\beta)$

Подставим известные значения:

$(a\sqrt{2})^2 = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\beta)$

$2a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\beta)$

$2a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\beta)$

$2a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\beta)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (при $a \neq 0$):

$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\beta)$

$\frac{3}{2} \cos(\beta) = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3 - 4}{2} = -\frac{1}{2}$

$\cos(\beta) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

в) икосаэдра

Дано: правильный икосаэдр, все рёбра которого равны $a$.

Найти: косинус двугранного угла $\gamma$ между его соседними гранями.

Решение:

Правильный икосаэдр — это многогранник, все двадцать граней которого являются равносторонними треугольниками. В каждой вершине икосаэдра сходится пять рёбер (и пять граней).

Рассмотрим одну из вершин, назовём её $V$. Пусть $A, B, C, D, E$ — соседние с $V$ вершины, образующие основание "пирамиды" с вершиной $V$. Так как все рёбра икосаэдра равны $a$, то $VA=VB=...=VE=a$ и $AB=BC=...=EA=a$. Это означает, что $ABCDE$ — правильный пятиугольник со стороной $a$.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $VB$. Его образуют соседние грани $VAB$ и $VBC$.

Построим линейный угол этого двугранного угла. В грани $VAB$ (равносторонний треугольник) проведём высоту $AM$ к стороне $VB$. В грани $VBC$ (также равносторонний треугольник) проведём высоту $CM$ к стороне $VB$. Так как $\triangle VAB \cong \triangle VBC$, высоты будут проведены к одной и той же точке $M$ на ребре $VB$.

Угол $\angle AMC$ является линейным углом искомого двугранного угла. Обозначим этот угол $\gamma$.

Найдём длины сторон треугольника $AMC$. $AM$ и $CM$ — высоты в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Их длина равна $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $AM = CM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сторона $AC$ является диагональю правильного пятиугольника $ABCDE$ со стороной $a$. Длину диагонали правильного пятиугольника можно найти через золотое сечение $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Длина диагонали $d = a\phi$. Итак, $AC = a \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Теперь в треугольнике $AMC$ известны все три стороны. Применим теорему косинусов для нахождения $\cos(\gamma)$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\gamma)$

Подставим известные значения:

$\left(a \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\gamma)$

$a^2 \frac{(1+\sqrt{5})^2}{4} = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\gamma)$

$a^2 \frac{1+2\sqrt{5}+5}{4} = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\gamma)$

$a^2 \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\gamma)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (при $a \neq 0$):

$\frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\gamma)$

$\frac{3}{2} \cos(\gamma) = \frac{3}{2} - \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{3 - 3 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cos(\gamma) = -\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

5.25. Повторите формулы площадей плоских фигур.

Ниже приведены основные формулы для вычисления площадей плоских геометрических фигур.

Квадрат

Площадь квадрата можно вычислить, зная длину его стороны или длину диагонали.

1. Через сторону: площадь равна квадрату длины стороны.

Ответ: $S = a^2$, где $a$ — длина стороны квадрата.

2. Через диагональ: площадь равна половине квадрата длины диагонали.

Ответ: $S = \frac{1}{2}d^2$, где $d$ — длина диагонали квадрата.

Прямоугольник

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон (длины и ширины).

Ответ: $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.

Параллелограмм

Площадь параллелограмма можно найти несколькими способами.

1. Через сторону и высоту: площадь равна произведению длины стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне.

Ответ: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона, $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$.

2. Через две стороны и угол между ними: площадь равна произведению длин двух смежных сторон на синус угла между ними.

Ответ: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, $\alpha$ — угол между ними.

Треугольник

Существует множество формул для вычисления площади треугольника.

1. Через основание и высоту: площадь равна половине произведения длины основания на длину высоты, проведенной к этому основанию.

Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$, где $a$ — основание, $h_a$ — высота, проведенная к основанию $a$.

2. Через две стороны и угол между ними: площадь равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними.

Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ — две стороны, $\gamma$ — угол между ними.

3. Формула Герона: площадь можно вычислить, зная длины всех трех сторон.

Ответ: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ — длины сторон, а $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

4. Через радиус вписанной окружности: площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

Ответ: $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

5. Через радиус описанной окружности: площадь равна произведению длин всех сторон, деленному на четыре радиуса описанной окружности.

Ответ: $S = \frac{abc}{4R}$, где $a, b, c$ — стороны, $R$ — радиус описанной окружности.

Трапеция

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Основания — это две параллельные стороны трапеции.

Ответ: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, $h$ — высота трапеции.

Ромб

Площадь ромба можно найти как через его диагонали, так и через сторону и высоту или угол.

1. Через диагонали: площадь равна половине произведения длин его диагоналей.

Ответ: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

2. Через сторону и высоту: поскольку ромб является параллелограммом, его площадь равна произведению стороны на высоту.

Ответ: $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона, $h$ — высота.

3. Через сторону и угол: площадь равна квадрату стороны, умноженному на синус угла ромба.

Ответ: $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — любой внутренний угол ромба.

Круг

Площадь круга вычисляется через его радиус или диаметр.

1. Через радиус: площадь равна произведению числа $\pi$ на квадрат радиуса.

Ответ: $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга.

2. Через диаметр: площадь равна четверти произведения числа $\pi$ на квадрат диаметра.

Ответ: $S = \frac{\pi D^2}{4}$, где $D$ — диаметр круга ($D=2R$).

Правильный многоугольник

Площадь правильного многоугольника (у которого все стороны и углы равны) можно вычислить, зная его периметр и радиус вписанной окружности (апофему).

Ответ: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$, где $P$ — периметр многоугольника, $r$ — радиус вписанной окружности (апофема).

Верно ли, что сечением выпуклого многогранника является выпуклый многоугольник?

Да, это утверждение верно. Сечением выпуклого многогранника всегда является выпуклый многоугольник. Докажем это утверждение.

Решение
Выпуклый многогранник — это многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Эквивалентное определение: многогранник является выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его точки, полностью ему принадлежит.

Сечение многогранника плоскостью — это многоугольник, образованный пересечением многогранника с этой плоскостью.

Доказательство основано на определении выпуклого множества. Множество точек называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества соединяющий их отрезок целиком принадлежит этому множеству.

Пусть $M$ — это выпуклый многогранник, а $\alpha$ — это секущая плоскость. Их пересечение образует сечение $S = M \cap \alpha$. Нам нужно доказать, что многоугольник $S$ является выпуклым.

Возьмём две произвольные точки $A$ и $B$, принадлежащие сечению $S$.
1. Поскольку точки $A \in S$ и $B \in S$, они по определению принадлежат плоскости $\alpha$. Любой отрезок, концы которого лежат в одной плоскости, целиком принадлежит этой плоскости. Следовательно, весь отрезок $[AB]$ лежит в плоскости $\alpha$.
2. Поскольку точки $A \in S$ и $B \in S$, они также принадлежат многограннику $M$. Так как многогранник $M$ выпуклый, то по определению отрезок $[AB]$, соединяющий две его точки, целиком принадлежит этому многограннику.

Из этих двух пунктов следует, что отрезок $[AB]$ одновременно принадлежит и многограннику $M$, и плоскости $\alpha$. Это означает, что отрезок $[AB]$ полностью содержится в их пересечении, то есть в сечении $S$.

Мы показали, что для любых двух точек $A$ и $B$ из сечения $S$ отрезок $[AB]$ целиком принадлежит $S$. Это и есть определение выпуклого множества. Поскольку сечение является многоугольником, оно является выпуклым многоугольником.

Ответ: Да, утверждение верно.